Was bedeutet das Gaußsche Gesetz?

Was bedeutet das Gaußsche Gesetz?

∇ ⋅ E = ρ ϵ 0

Diese Antwort sagt:

Divergenz braucht keine Richtung, weil es der durchschnittliche Abfluss von Bananen in alle Richtungen um einen Punkt herum ist P . Sie zeichnen eine geschlossene Kurve um P , addieren Sie die Gesamtzahl der Bananen, die die Kurve passieren (positiv für abgehende Bananen, negativ für ankommende) und dividieren Sie dann durch die von der Kurve eingeschlossene Fläche . Und dann ist die Divergenz das, was mit dieser Größe passiert, wenn die Kurve sehr klein ist, einschließend P und sonst nicht viel

Dies bedeutet, dass ich eine positive Punktladung an nehmen sollte P und zeichne dann eine geschlossene Kurve herum P , addieren Sie die Gesamtzahl der elektrischen Felder, die durch die Kurve verlaufen, und teilen Sie sie dann durch die von der Kurve eingeschlossene Fläche. Dies sollte mir die Divergenz des elektrischen Felds an diesem Punkt geben P

Auch hier ist die Divergenz der durchschnittliche Abfluss des elektrischen Feldes in alle Richtungen um einen Punkt herum P .

Ich kann diese beiden Definitionen nicht verbinden oder wirklich verstehen, was diese Gleichung uns wirklich sagt.

Eine einfache Antwort ohne komplizierte Mathematik (vielleicht mit Analogie) wäre sehr willkommen.

Was in aller Welt hat Maxwell mit Bananen zu tun? Ich habe die Bananenähnlichkeit hier wirklich nicht verstanden

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Gaußsches Gesetz

∇ ⋅ E → = ρ ϵ 0
sagt uns, dass die in einem Infintesimalbereich eingeschlossene Ladungsdichte gleich dem gesamten elektrischen Fluss in / aus ihm ist

Strenger kann die Divergenz geschrieben werden als

∇ ⋅ E → = lim v → 0 1 v ∫ ∂ v E → ⋅ D A →

Daher wird im Wesentlichen die Anzahl der Feldlinien gezählt, die durch das Volumen verlaufen v (die von einer Fläche umschlossen ist ∂ v ). Die Oberfläche kann so einfach wie eine Kugel sein, aber auch jede geschlossene Oberfläche, sogar so unregelmäßig wie eine Kartoffel, ist in Ordnung.

Wenn Sie also mehr positive Ladung haben, dann lernen Sie anhand der Noten, die Sie in der High School lernen, die elektrischen Feldlinien E → wird dichter gepackt, daher gehen mehr Feldlinien aus der Region hinaus v . Wenn Sie mehr negative Ladungen haben, gehen entsprechend mehr Feldlinien in die Region

Nun nehmen wir dieses Volumen infinitesimal klein, das heißt also in der Nähe der Ladungen, wie viele Feldlinien im Mittel aus der Ladungsdichte ein-/ausgehen. Das infinitesimale Volumen stellt auch sicher, dass alle Feldlinien, die grundsätzlich in alle Richtungen im Raum von der Ladungsdichte ein- und ausgehen, durch die eingeschlossene Oberfläche gehen und daher auf die durchschnittliche Anzahl von Feldlinien angerechnet werden (da bei einer Ladungsdichte, die Feldlinien strahlen in alle Richtungen aus/ein)

Eine einfache Analogie, die die Mathematik fast genau veranschaulicht

Betrachten Sie die rechte Seite der Gleichung als einen Springbrunnen. Wenn der Brunnen stark ist, wird in seiner Nähe viel Wasser in alle Richtungen fließen. Wenn der Springbrunnen schwach ist, wird auch nicht viel Wasser austreten. Wenn wir stattdessen einen Drian betrachten, dann wird, je stärker der Sog des Abflusses in seiner Nähe ist, mehr Wasser hineinströmen, ebenso ist die Menge des durchfließenden Wassers gering, wenn der Abfluss schwach ist.

Daher ist die Wassermenge, die in der Nähe des Abflusses/Brunnens ein-/ausfließt, die linke Seite, während ihre Stärke die rechte Seite ist

Zunächst muss man sich im 3D-Raum eine geschlossene Fläche vorstellen, die Ladungen im Inneren enthält. Addieren Sie dann alle elektrischen Flusselemente 𝜀0·En·dA normal zu jedem kleinen Oberflächenelement d A auf dieser geschlossenen Oberfläche, um den Gesamtfluss zu erhalten. Fügen Sie dann alle kleinen Ladungselemente dQ=𝜌dV in dem von dieser Oberfläche eingeschlossenen Volumen hinzu, um die Gesamtladung Q zu erhalten. Dann besagt das Gaußsche Gesetz, dass der gesamte elektrische Fluss, der durch die Oberfläche geht, gleich der von diesem Volumen eingeschlossenen Gesamtladung Q ist. Der mathematische Divergenzsatz setzt den Gesamtfluss eines Vektorfeldes (hier E ) über eine geschlossene Fläche mit seinem Volumenintegral der Divergenz div E gleich. Wenn Sie die geschlossene Fläche betrachten, die sich zu einem Punkt zusammenzieht, folgt die Maxwell-Gleichung div (𝜀0·E) = 𝜌. Die Bedeutung des Gaußschen Gesetzes ist, dass Sie sich das elektrische Feld als Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit vorstellen können. Der Gesamtfluss dieser Flüssigkeit, der die geschlossene Oberfläche verlässt, muss sich zu Null summieren, wenn keine Quellen oder Senken (negative Quellen) des Flusses in dem Volumen vorhanden sind, oder die Summe aller Quellen minus Senkenflüsse in diesem Volumen sein. Die Ladungen können daher als Quellen oder Senken dieses elektrischen Flusses betrachtet werden. Die Gleichung div (𝜀0· E ) = 𝜌 drückt dies für ein infinitesimal kleines Volumenelement aus, wenn man es mit dV multipliziert. Der Fluss, der ein infinitesimal kleines Volumen verlässt, muss gleich der Quellenstärke (positiv oder negativ) sein, die der Ladung im infinitesimalen Volumen 𝜌·dV entspricht.

Besuchen Sie für eine MathJax-Referenz diesen Meta-MSE-Beitrag: meta.math.stackexchange.com/q/5020 .
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