Elektrisches Feld auf der Oberfläche einer geladenen Kugel

(Andere) Robs Antwort erscheint mir gut, aber lassen Sie mich eine andere Denkweise anbieten.

Wenn Sie sich der Oberfläche der Kugel sehr nahe nähern, sollte das elektrische Feld immer mehr dem elektrischen Feld einer unendlichen Ladungsebene ähneln.

Wenn Sie das Gaußsche Gesetz überprüfen (wobei daran erinnert wird, dass das Feld im Leiter Null ist), werden Sie sehen, dass die Oberflächenladungsdichte gleich ist$\sigma=Q/4\pi R^2$, dann ist tatsächlich das Feld an der Oberfläche$\sigma/\epsilon_0$wie im Fall der unendlichen Ladung des Flugzeugs.

Ein solches Feld ist konstant, die Feldlinien sind parallel und nicht divergierend, und die mit dem Feld aufgrund der Punktladung verbundenen Unendlichkeiten treten nicht auf.

Für eine Ladungsverteilung$\rho({\bf r'})$, das elektrische Feld bei${\bf r}$Ist

$${\bf E}({\bf r})=k\iiint\frac{\rho({\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^2}\hat{\bf R}d^3{\bf r'}$$ Wo ${\bf R}={\bf r}-{\bf r'}$.

Ich denke, der Anspruch des OP liegt an Positionen, an denen$\rho \ne 0$, das obige Integral ist unendlich, weil der Integrand bei explodiert${\bf R}={\bf 0}$.

Ich denke, das OP sollte sich zuerst fragen, ob Sie eine mathematische oder eine physikalische Frage stellen.

Wenn Sie eine mathematische Frage stellen, ähnelt Ihre Frage meiner Meinung nach der ob

$$\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx$$ ist undefiniert (oder unendlich nach Ihrem Argument) oder gleich $2$.

Meiner Meinung nach ist das obige Integral streng genommen undefiniert, weil der Integrand at undefiniert ist$x=0$.

Allerdings seit

$$\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\int_\epsilon^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2$$ wir sagen normalerweise nur $$\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2$$

Also meiner Meinung nach, wenn wir schreiben

$${\bf E}({\bf r})=k\iiint\frac{\rho({\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^2}\hat{\bf R}d^3{\bf r'}$$ sagen wir eigentlich $${\bf E}({\bf r})=\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}k\iiint_{D_{\epsilon}}\frac{\rho({\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^2}\hat{\bf R}d^3{\bf r'}$$ Wo $D_\epsilon$ist der Raum minus einer Kugel mit Radius $\epsilon$zentriert bei ${\bf r}$.

Es kann gezeigt werden, dass wenn$\rho({\bf r})$endlich ist oder nicht ins Unendliche geht$\textit{too fast}$, dann existiert die Grenze.

Wenn Sie das akzeptieren, dann sollte die physikalische Frage gestellt werden, ob dies die richtige Antwort in der Physik gibt.

In der klassischen EM ist die$\textit{macroscopic}$Feld${\bf E}$ist in der Tat der Durchschnitt der$\textit{microscopic}$Feld${\bf e}$. (Landau und Lifschitz,$\textit{Electrodynamics of Continuous Media}$, S.1.)

Sie können also überlegen${\bf E}({\bf r})$als Durchschnitt von${\bf e}$über eine Kugel mit Radius$\epsilon$zentriert bei${\bf r}$.

Nun, darüber kann man streiten

$${\bf E}({\bf r})=k\iiint_{D_{\epsilon}}\frac{\rho({\bf r'})}{|{\bf r}-{\bf r'}|^2}\hat{\bf R}d^3{\bf r'}$$ folgendermaßen.

Es kann gezeigt werden, dass (1) das durchschnittliche Feld über dem Ball aufgrund von Ladungen außerhalb des Balls dasselbe ist wie das Gesamtfeld aufgrund aller Ladungen außerhalb des Balls in der Mitte des Balls. , und (2) das durchschnittliche Feld über dem Ball aufgrund von Ladungen innerhalb des Balls ist

$$-k\frac{{\bf p}}{\epsilon^3}$$ Wo ${\bf p}$ist das gesamte Dipolmoment innerhalb der Kugel. (Griffith, $\textit{Introduction to Electrodynamics}$, P. 156-157, Aufgabe 3.41).

Also wann$\epsilon$ist makroskopisch klein,${\bf p}\rightarrow{\bf 0}$.

Sie scheinen verwirrt über das Konzept der Grenze zu sein, das normalerweise in Mathematikkursen behandelt wird. Wenn Sie haben, keine Punktladung, sondern ein Ladungsvolumen mit einer gewissen Dichte$\rho$, dann die in einer kleinen Kugel mit Radius eingeschlossene Ladung$r$Ist

$$dq = \rho\, dV = \rho \cdot \frac{4\pi}3 r^3$$ und das elektrische Feld an der Oberfläche der Kugel wird proportional zu sein $$E \propto \frac{dq}{r^2} \propto \frac{\rho r^3}{r^2} = \rho r.$$ Diese Feldgröße ist im Grenzbereich gutmütig $r$ist sehr klein.

Die Punktladung Null, die Oberflächenladung Null usw. sind nützliche Annäherungen, wenn die Größe der Ladungsverteilung viel kleiner ist als die Größe der Feldverteilung, die Ihnen wichtig ist. Physikalische Punktladungen, Oberflächenladungen und Linienladungen sind alle tatsächlich über ein endliches Volumen verteilt. Sogar die Ladung eines einzelnen Elektrons wird dank quantenmechanischer Unsicherheit in der Position des Elektrons über ein endliches Volumen verteilt.

Ihr Denken ist richtig. Wenn die Kugel aus kleinen Punktladungen besteht, ist das Feld zumindest unendlich, wenn Sie sich ihnen nähern.
Es gibt einen Punkt, den Sie übersehen, wenn Sie sagen, dass dies dem Gesetz von Gauß widerspricht: Das Gesetz von Gauß gibt Ihnen nur den Fluss des Feldes an. Um daraus lehrbuchmäßig das Feld der Kugel zu bekommen, muss man Symmetrie verwenden . Sie argumentieren dann, dass, da eine Kugel symmetrisch ist, der Fluss einfach Feld mal Fläche ist. Das stimmt aber mit deinen Annahmen nicht. Eine aus diskreten Punkten bestehende Kugel ist keine Kugel, sie hat zumindest keine Kugelsymmetrie. Der Widerspruch ist weg.

Wenn wir sagen, dass das Feld einen bestimmten Wert hat, meinen wir den Mittelwert . In Ihrer Argumentation zielen Sie genau auf eine Punktladung ab. Dann ist das Feld unendlich. Aber wenn Sie Punkte haben, müssen Sie auch Lücken dazwischen haben, und in diesen Lücken ist das Feld kleiner als das, was Sie mit der üblichen Formel erhalten. Wenn Sie sagen, dass die Punkte dicht sind (im Sinne rationaler Zahlen: zwischen je zwei gibt es noch einen mehr), dann sind es unendlich viele und haben jeweils die Ladung Null.
Sie argumentieren, dass ein Wert geteilt durch Null unendlich ist ... aber Null geteilt durch Null ist es nicht ! Kann sein, muss aber nicht. Und in diesem Fall haben Sie die gleiche Nullheit, wenn Sie sie teilen, erhalten Sie etwas Endliches.

In Wirklichkeit haben die Elektronen natürlich eine Ladung ungleich Null. Aber es gibt auch endlich viele davon. Es gibt also echte endliche Lücken.

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Aber Sie haben Recht - Punktladungen sind eine seltsame Sache. Sie stimmen nicht mit dem klassischen Elektromagnetismus überein. Man könnte argumentieren, dass es kein Problem ist, dass das Potenzial unendlich wird – nur nicht dorthin gehen, dann ist es endlich, könnte man sagen. Aber in der klassischen Theorie gibt es das Konzept der Energiedichte des Feldes. Und die Energie einer Punktladung ist unendlich, wenn man nachrechnet.
Nun, auch das wäre kein Problem - zumindest solange die Anzahl der Ladungen erhalten bleibt. Aber das ist es nicht ... Aber das Einzige, was es beweist, ist, dass die Welt nicht klassisch ist.