Einfacher Zweifel am Gaußschen Gesetz

Mir wurde von meinen Lehrern gesagt, dass der Begriff$\vec E$in der obigen Gleichung ist das gesamte elektrische Feld aufgrund aller Ladungen innerhalb und außerhalb der Gaußschen Oberfläche .

Wenn Ihr Lehrer mit "gesamtem elektrischem Feld" die Vektorsumme der Beiträge der elektrischen Felder an der differentiellen Oberfläche dA aufgrund von Ladungsbeiträgen sowohl innerhalb als auch außerhalb der Gaußschen Oberfläche meint, dann ist das richtig.

Der zweite Term in der obigen Gleichung ist im Wesentlichen der elektrische Ladungsfluss außerhalb der Gaußschen Oberfläche, der gleich 0 ist

Das ist richtig, denn wenn Sie sich die elektrischen Feldlinien ansehen, die mit Ladungen außerhalb der Gaußschen Oberfläche verbunden sind, werden Sie feststellen, dass jede Feldlinie, die eine Oberfläche kreuzt und in das von der Oberfläche eingeschlossene Volumen eintritt, das Volumen an einer anderen Oberfläche verlässt, für ein Netz Fluss von Null aufgrund externer Ladungen.

Aus diesem Ergebnis können wir also erkennen, dass das elektrische Feld, das wir unter Verwendung des Gaußschen Gesetzes erhalten, nur das Feld der Ladungen innerhalb der Oberfläche ist, was im Widerspruch zu dem steht, was ich in meinen Büchern gelesen habe und auch zu dem, was mir von meinem Lehrer beigebracht wurde .

Es gibt keinen Widerspruch, solange Ihr Lehrer meinte, was ich oben gesagt habe.

Also wo liege ich falsch und was eigentlich$\vec E$repräsentiert ? Auch Why wird so viel Wert darauf gelegt, dass$\vec E$ist im Gaußschen Gesetz das gesamte elektrische Feld und nicht nur das Ladungsfeld im Körper? Bitte verzeihen Sie mir, wenn ich einen dummen Fehler mache.

Ich bin mir nicht sicher, warum die Feldladungsbeiträge außerhalb des Körpers betont werden sollten, es sei denn, um zu demonstrieren, dass selbst wenn Sie sie berücksichtigen, die Auswertung des Integrals über die gesamte Oberfläche zeigt, dass dies nicht der Fall ist Nettofluss aufgrund der externen Ladungen, nur aufgrund der internen Ladungen.

Jedenfalls sehe ich nicht, dass Sie einen Fehler gemacht haben.

Das Feld, das wir nach dem Lösen des Integrals erhalten, ist also das Feld aufgrund von Ladungen innerhalb der Gaußschen Oberfläche. Rechts ?

Es ist nicht das Feld, das wir nach dem Lösen des Integrals erhalten. Es ist der elektrische Nettofluss, dh das Integral von$\vec E.d\vec A$über die gesamte Fläche. Der Nettofluss ist positiv, wenn das Volumen eine positive Nettoladung enthält, und negativ, wenn das Volumen eine negative Nettoladung enthält. Es ist Null für die Felder, die durch externe Ladung erzeugt werden, da der in das Volumen eintretende/austretende Fluss gleich dem aus dem Volumen austretenden/eintretenden Fluss ist.

Bearbeiten: Da der einzige Fluss, der im Integral verbleibt, der Fluss der Ladung innerhalb der Gaußschen Oberfläche ist und wenn die Oberfläche symmetrisch ist, können wir die nehmen$\vec E$aus und berechne das$\vec E$indem man die Fläche nach dem Lösen des Integrals findet.

Das ist richtig.

Das Gaußsche Gesetz kann zur Berechnung elektrischer Felder verwendet werden, wenn sie von Ladungsverteilungen mit ausreichender Symmetrie stammen, um es anzuwenden. Mit anderen Worten, das elektrische Feld$\vec E$kommt aus dem Integral. Beispiele für solche Anwendungen (einschließlich einer unendlichen Ladungslinie) und den resultierenden Wert des elektrischen Felds finden Sie hier:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/gaulaw.html

Und da wir wissen, dass der Nettofluss in der Gaußschen Oberfläche von der inneren Ladung stammt , deutet dies auf das elektrische Feld hin$\vec E$Wir erhalten nach dem Lösen des Integrals (Symmetrie vorausgesetzt) ​​das Feld der Ladung im Inneren des Drahtes .

Das ist richtig, vorausgesetzt, die Ladungsverteilung ist hinreichend symmetrisch.

Aber das sagt NCERT ... Das ist sehr widersprüchlich.

Ich sehe keinen Widerspruch zwischen dem, was NCERT sagt, und der Hyperphysik-Behandlung einer unendlichen Ladungslinie, die im Link gezeigt wird. Vergleichen Sie die beiden und sehen Sie, was Sie denken.

Hoffe das hilft.

$\displaystyle \oint \vec E_{\rm inside \; charge}\cdot d\vec a + \oint \vec E_{\rm outside \; charge}\cdot d\vec a =\dfrac{q_{\rm enclosed}}{\epsilon_o}$

Sie müssen also zwei Integrationen durchführen.
Die erste Integration wird normalerweise zitiert und die zweite oft weggelassen, weil sie Null ist.

Ohne wirkliche Integrationen durchzuführen, stellen Sie sich das Integral als "Zählen" der Feldlinien vor, die durch die Gaußsche Oberfläche verlaufen, wobei Linien, die aus dem eingeschlossenen Volumen herausgehen, als positiv und Linien, die in das eingeschlossene Volumen eintreten, als negativ zählen.
Eine durch eine Ladung innerhalb der Gaußschen Oberfläche erzeugte Feldlinie wird die Oberfläche nur einmal passieren, wobei positive Ladungen einen positiven Beitrag zum ersten Integral erzeugen, während negative Ladungen einen negativen Beitrag erzeugen.
Daraus werden Sie die Idee bekommen, dass$q_{\rm enclosed}$ist die Nettoladung innerhalb der Gaußschen Oberfläche.

Betrachten Sie nun eine Ladung, die außerhalb der Gaußschen Fläche liegt.
Feldlinien von solchen Ladungen durchqueren die Gaußsche Linie zweimal, entweder indem sie in das eingeschlossene Volumen eintreten und es dann verlassen oder umgekehrt.
In Bezug auf das Zählen von Feldlinien durch die Gaußsche Oberfläche hat also jedes Feld einen Nettobeitrag von Null zum zweiten Integral.

Da der einzige Fluss, der im Integral verbleibt, der Fluss der Ladung innerhalb der Gaußschen Oberfläche ist, und wenn die Oberfläche symmetrisch ist, können wir das 𝐸⃗ herausnehmen und dieses 𝐸⃗ berechnen, indem wir die Fläche finden, nachdem wir das Integral gelöst haben.

Das stimmt im Allgemeinen nicht. Im Beispiel eines unendlich langen geladenen Drahtes ist die richtige zu verwendende Gaußsche Oberfläche ein Zylinder, der koaxial zum Draht ist, wie Sie gesagt haben. Betrachtet man allerdings nur das Feld$\vec E_{in}$die durch die von dieser Gaußschen Fläche eingeschlossene Ladung erzeugt wird, hat sie keine zylindrische Symmetrie.

Das Gaußsche Gesetz gilt natürlich weiterhin. Sie könnten im Prinzip den Gesamtfluss durch den Gaußschen Zylinder berechnen, indem Sie nur die Ladungen im Inneren berücksichtigen. Da jedoch das Feld aufgrund der Ladungen sowohl in der Größe als auch in der Richtung über die Oberfläche des Zylinders variiert, ist die Symmetrie für diesen Ansatz nicht ausreichend, um beim Berechnen von was hilfreich zu sein$\vec E_{in}$ist eigentlich an jedem bestimmten Punkt.

Genauer gesagt ist unser Ziel hier nicht zu finden$\vec E_{in}$sondern um das Gesamtfeld zu finden$\vec E_{tot}$aufgrund der Ladungen entlang des gesamten Drahtes, nicht nur innerhalb des Gaußschen Zylinders.$\vec E_{tot}$ hat Zylindersymmetrie, weshalb wir das Gaußsche Gesetz verwenden können, um es zu berechnen, ohne irgendwelche schwierigen Integrale zu machen.

Und da wir wissen, dass der Nettofluss in der Gaußschen Oberfläche von der inneren Ladung stammt, deutet dies darauf hin, dass das elektrische Feld 𝐸⃗, das wir nach dem Lösen des Integrals erhalten (Symmetrie vorausgesetzt), das Feld der Ladung im Inneren des Drahts ist.

Dies ist auch nicht wahr. Wenn eine Ladung außerhalb Ihrer Gaußschen Oberfläche sitzt, dann ist es wahr, dass das Feld, das sie erzeugt, nicht zum Nettofluss durch Ihre Oberfläche beiträgt. Es trägt jedoch mit Sicherheit an jedem Punkt zum gesamten elektrischen Feld bei; Es ist nur so, dass, wenn Sie seine Beiträge zum Gesamtfluss über die gesamte Oberfläche integrieren, es in einigen Bereichen zu einem positiven Fluss und in anderen zu einem negativen Fluss beiträgt, so dass es sich insgesamt zu Null summiert.

Der gesamte externe Fluss $\iint \color{green}{\vec E_{out}} \cdot d\vec A = 0$, aber das heißt nicht$\color{green}{\vec E_{out}}$trägt nicht zum Gesamtfeld bei$\color{purple}{\vec E_{tot}}$an jedem Punkt. Seit$\color{purple}{\vec E_{tot}}$ist das, was die zylindrische Symmetrie hat, es ist das Feld, das wir aus dem Integral herausziehen und mit dem Gaußschen Gesetz auflösen können.

Mit anderen Worten, das stimmt$\iint \color{red}{\vec E_{in}}\cdot d\vec A = q_{in}/\epsilon_0$ und das ist wahr$\iint \color{purple}{\vec E_{tot}} \cdot d\vec A = q_{in}/\epsilon_0$, aber nur im letzteren Fall haben wir eine ausreichende Symmetrie, um tatsächlich nach dem Feld aufzulösen. Die erste Gleichung bleibt wahr, ist aber für das, was wir hier versuchen, nicht sehr hilfreich.

Da die anderen Antworten Ihre Zweifel an früheren Fragen ausgeräumt haben, werde ich versuchen, das Problem mit dem unendlich langen Draht anzusprechen. Die Annahme einer unendlich langen Leitung stellt sicher, dass das elektrische Feld durch die Leitung ausschließlich vom radialen Abstand abhängt, d. h$\vec{E}(r,\theta,\phi)=E(r)\vec{r}.$Verwenden einer solchen Symmetrie und Verwenden einer zylindrischen Gaußschen Oberfläche mit Radius$a$und Höhe$l$, werden wir bekommen$2\pi a\cdot l\cdot E=\frac{\lambda l}{\varepsilon_0}$. Wie Sie sehen können, ist der Parameter$l$wird auf beiden Seiten abgebrochen, hat also keinen Einfluss auf die Berechnung des Feldes durch den ganzen Draht. Das bedeutet, dass jede zylindrische Gaußsche Fläche endlicher Höhe ausreicht, um das elektrische Feld aufgrund des gesamten Drahtes zu bestimmen. Ist der Draht jedoch endlich lang, weist sein elektrisches Feld diese Symmetrie nicht mehr auf.

Das Feld$\vec{E}$das im Gesetz von Gauß auftaucht, ist das Gesamtfeld, jedoch können Sie Situationen manchmal vereinfachen, indem Sie das Superpositionsprinzip verwenden. An 2 Beispielen wird dies deutlicher:

Beispiel 1 – Zwei Punktladungen

Offensichtlich möchten wir in diesem Fall in der Lage sein, die elektrischen Coulomb-Felder aus den beiden Ladungen einfach zu summieren. Wie machen wir das mit dem Gaußschen Gesetz? Nun, der einfachste Weg ist eindeutig, Superposition zu verwenden und zuerst das Feld zu berechnen$\vec{E}_1$das wäre da wenn nur aufladen$1$waren da, und dann das Feld$\vec{E}_2$wenn nur aufladen$E_2$war da.

Diese Option ist einfacher, da das Gesamtfeld eine niedrige Symmetrie hat, aber die einzelnen Beiträge eine hohe Symmetrie haben, sodass wir sie mit dem Gaußschen Gesetz berechnen können.

Beispiel 2 – Eine unendliche Ladungslinie

Jetzt ist die Situation umgekehrt - wenn Sie das Gesamtfeld finden möchten, indem Sie es für viele endliche Drahtsegmente berechnen und dann addieren, stellen Sie fest, dass ein Draht mit endlicher Länge ein sehr seltsam geformtes elektrisches Feld und das Gaußsche Gesetz hat nützt nicht viel.

Glücklicherweise brauchen wir keine Superposition, da das Gesamtfeld$\vec{E}$hat eine hohe Symmetrie. Insbesondere muss es vom Draht immer radial nach außen zeigen - es kann keine Komponente entlang des Drahtes haben, denn in welche Richtung entlang des Drahtes würde diese Komponente zeigen? Dieses Argument versagt für den endlichen Draht, weil (wenn Sie nicht genau in der Mitte sind) diese Komponente entlang des Drahtes zum näheren Ende zeigen kann.

(Nebenbei: Sie können natürlich Superposition verwenden, wenn Sie die Linie in unendlich viele Punktladungen aufteilen und dann die Coulomb-Formel für jede von ihnen verwenden. Der Punkt ist, dass dies mehr Aufwand ist.)

Zusammenfassung

In den Fällen, in denen das Gaußsche Gesetz nützlich ist, liegt es in der Regel an der Summe$\vec{E}$ist hochsymmetrisch. Die Wahl der Gaußschen Oberfläche schließt jedoch normalerweise nur einen Bruchteil der Gesamtladung ein, und diese Ladung würde ein elektrisches Feld mit niedriger Symmetrie erzeugen. Während die Überlagerung beide Versionen des Gaußschen Gesetzes in integraler Form korrekt macht, scheint die vom OP vorgeschlagene nicht sehr nützlich zu sein.