Divergenz eines Feldes und seine Interpretation

Dies wird viel klarer, wenn Sie die Integralformen der Maxwell-Gleichungen betrachten. Wir beginnen mit dem Gaußschen Gesetz

$$\begin{equation} \nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation}$$ Wenn wir dies über ein gewisses Volumen integrieren $V$und den Divergenzsatz von Gauß anwenden , finden wir, dass die linke Seite ergibt $$\begin{align} \int_V\mathrm{d}^3\vec{x}\;\nabla\cdot\vec{E}= \int_{\partial V}\mathrm{d}^2\vec{S}\cdot \vec{E}\end{align}$$ wo $\partial V$ist die Grenze von $V$. Während die rechte Seite nachgibt $$\begin{equation} \int_V\mathrm{d}^3\vec{x}\;\frac{\rho}{\epsilon_0}= \frac{Q}{\epsilon_0}\end{equation}$$ Woher $Q$ist die darin enthaltene Gesamtgebühr $V$. Die Kombination der beiden ergibt $$\begin{equation}\int_{\partial V}\mathrm{d}^2\vec{S}\cdot \vec{E} = \frac{Q}{\epsilon_0}\end{equation}$$ Ich sage, der elektrische Fluss, der in einen geschlossenen Bereich eintritt, ist gleich der Ladung, die in diesem Bereich enthalten ist, dh elektrische Feldlinien beginnen und enden nur bei Ladungen.

Umgekehrt können wir diese Gleichung auf ein beliebiges Volumen anwenden,$V$. Insbesondere können wir ein Volumen so klein wählen, dass$\nabla\cdot\vec{E}$und$\rho$ungefähr konstant sind, so dass wir die differentielle Form des Gaußschen Gesetzes wiedergewinnen können.

Sehen wir uns nun an, wie diese Gleichungen für eine Punktladung aussehen.$q$, am Ursprung. Für jedes Volumen$V$das beinhaltet nicht die Herkunft,$Q = 0$, also durch Einnahme$V$klein finden wir das$\nabla\cdot\vec{E} = 0$. Wenn wir jedoch einen Band betrachten, der den Ursprung enthält, dann$Q = q$und das Integral von$\nabla\cdot\vec{E}$ist ungleich Null. Lassen wir die Lautstärke von$V\rightarrow 0$wir glauben, dass$Q$bleibt konstant, solange der Ursprung noch enthalten ist, also

$$\begin{equation}\frac{Q}{V}\rightarrow\rho\rightarrow \infty\end{equation}$$ So $\rho$muss für eine Punktladung divergieren! Darüber hinaus ist dieses Verhalten, bei dem der Wert eines Integrals durch den Wert des Integranden an einem Punkt gegeben ist, die Definition des Dirac-Deltas. Wenn Sie dies unbefriedigend finden, können Sie auf die Frage zurückgreifen, ob Punktladungen tatsächlich existieren, aber dies ist eher eine empirische als eine theoretische Frage. (Wir haben derzeit wenig Grund zu der Annahme, dass Elementarteilchen nicht punktförmig sind.)

Eine ähnliche Analyse kann mit Magnetfeldern durchgeführt werden, wo wir das finden

$$\begin{equation} \int_{\partial V}\mathrm{d}^2\vec{S}\cdot \vec{B} = 0\end{equation}$$ für jedes Volumen $V$

I) Richtig, die differentielle Form des Gaußschen Gesetzes

$$\tag{1} {\bf\nabla} \cdot{\bf E}~=~ \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

verwendet das relativ fortgeschrittene mathematische Konzept der Dirac-Delta-Verteilungen im Fall von Punktladungen

$$\tag{2} \rho({\bf r})~=~\sum_{i=1}^n q_i\delta^3({\bf r}-{\bf r}_i).$$

Beachten Sie insbesondere, dass es technisch falsch ist zu behaupten (wie es OP zu tun scheint), dass die Dirac-Delta-Verteilung$\delta^3({\bf r})$ist nur eine Funktion $f:\mathbb{R}^3\to [0,\infty]$das überall den Wert Null annimmt, außer am Ursprung, wo der Wert unendlich ist:

$$\tag{3} f({\bf r})~:=~\left\{ \begin{array}{rcl} \infty& {\rm for}& {\bf r}={\bf 0}, \cr 0& {\rm for}& {\bf r}\neq {\bf 0}.\end{array}\right.$$

Für den Anfang, für eine beliebige Testfunktion $g:\mathbb{R}^3\to [0,\infty[$, das Lebesgue-Integral$^1$

$$\tag{4} \int_{\mathbb{R}^3} \! d^3r~f({\bf r})g({\bf r}) ~=~0$$

verschwindet, im Gegensatz zur definierenden Eigenschaft der Dirac-Delta-Verteilung

$$\tag{5} \int_{\mathbb{R}^3} \! d^3r~\delta^3({\bf r})g({\bf r}) ~=~g({\bf 0}).$$

Die Dirac-Delta-Verteilung$\delta^3({\bf r})$ist keine Funktion. Es ist stattdessen eine verallgemeinerte Funktion . Es ist möglich, die Dirac-Delta-Verteilung mathematisch konsistent zu behandeln. Es sollte jedoch betont werden, dass sich die Analyse nicht auf die Untersuchung zweier getrennter Fälle reduziert${\bf r}= {\bf 0}$und${\bf r}\neq {\bf 0}$, sondern beinhaltet (typischerweise) (verschmierte) Testfunktionen. Um einen Eindruck von den verschiedenen Feinheiten zu bekommen, die bei Distributionen auftreten können, könnte der Leser diesen Phys.SE-Beitrag interessant finden.

II) Um den Begriff der Verteilungen zu vermeiden , ist es sicherer (und wahrscheinlich intuitiver), mit der äquivalenten integralen Form des Gaußschen Gesetzes zu arbeiten

$$\tag{6} \Phi_{\bf E}~=~ \frac{Q_e}{\varepsilon_0}.$$

Das entsprechende Gaußsche Gesetz für Magnetismus

$$\tag{7} \Phi_{\bf{B}}~=~ 0$$

drückt (ohne mit zweierlei Maß zu messen) die Tatsache aus, dass es keine magnetische Ladung gibt$Q_m$.

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$^1$Gl. (4) stützt sich entscheidend darauf, dass man in der Integrationstheorie für nicht negative Funktionen die Multiplikation definiert$\cdot: [0,\infty]\times[0,\infty]\to[0,\infty]$auf der erweiterten reellen Halblinie$[0,\infty]$damit$0\cdot\infty:=0$. Gl. (4) wird im Wesentlichen dadurch verursacht, dass$f$ist fast überall Null . Auch sollten wir die wohlbekannte Tatsache erwähnen, dass die Integrationstheorie angemessen von nicht-negativen Funktionen auf komplexwertige Funktionen verallgemeinert werden kann.

Die Maxwell-Gleichungen besagen

$$\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$

$$\nabla \cdot \vec B = 0$$

Wenn wir die Maxwell-Gleichungen als wahr annehmen, gibt es keine Quelle/Senke des Magnetfelds, da die Divergenz des Magnetfelds in jedem Fall Null ist . Doch egal, wie Sie über das Dirac-Delta denken, wo es Ladung gibt, gibt es eine Divergenz des elektrischen Feldes ungleich Null. Und umgekehrt, wo es eine Nicht-Null-Divergenz gibt, gibt es eine Ladung.

Nun ist nicht das Dirac-Delta "unrealistisch" (es ist eine perfekt definierte Verteilung), sondern das Konzept einer "Punktladung". Jedes geladene Ding, das wir kennen, hat diese Ladung über einen – wie auch immer kleinen – Raumbereich verteilt, und das Dirac-Delta ist eine Möglichkeit zu modellieren, dass dieser Bereich so klein ist, dass es uns egal ist, dass er nicht punktförmig ist. Und wenn es wirklich eine punktförmige Ladung gäbe, würde das Dirac-Delta genau ihre Ladungsdichte beschreiben - denn das Volumen eines Punktes ist eindeutig Null, und die Ladung, die das Ding durch Null geteilt hat, ist unendlich. (Verstehen Sie dies nicht als strenge Aussage, dies ist so handgewellt, wie es nur geht)

Die ernstere Sache, die man hier lernen muss, ist, dass Dichten Verteilungen sind – sie machen keinen Sinn, es sei denn, sie werden integriert und wenn wir über eine Punktladung mit integrieren$\rho(r) = q \delta(r)$, erhalten wir die vollkommen endliche Ladung$q$. Am Dirac-Delta als Ladungs- (oder andere) Dichte ist nichts auszusetzen .

Sie schreiben: "Im Fall des Magnetfelds müssen wir noch seine Quelle oder Senke beobachten."

Wenn Sie meinen, "wir müssen noch eine Quelle oder Senke beobachten", haben Sie Recht.

Betrachten Sie jedoch das magnetische Vektorfeld (Einheiten ignorieren / qualitativ sprechen):

$$\vec{B}=(0, \frac{z}{(1+r^2)^2},\frac{y}{(1 + r^2)^2})$$

Dies ist ein gültiges Feld, da es die Kräuselung des Vektorpotentials ist$(\frac{1}{1+r^2},0,0)$.

Es ist ein gültiges momentanes Magnetfeld. Sie könnten die Maxwell-Gleichungen verwenden, um eine Stromdichte oder ein sich änderndes elektrisches Feld zu finden, aber das geht über den Punkt. Der Punkt ist:

1. Es gibt keine Quelle oder Senke von$\vec{B}$,
2. Seit$\vec{B}$geht im Unendlichen auf Null, keine Quelle oder Senke wurde "ins Unendliche geschoben".
3. Die im Feld gespeicherte Energie ist endlich.

Dies ist wirklich ein endliches Magnetfeld ohne Quelle oder Senke. Es geht nicht darum, seine Quelle oder Senke zu beobachten. Es gibt keine Quelle oder Senke zu beobachten!

Ich habe den Begriff "Quelle oder Senke" verwendet, um zu bedeuten$\nabla \cdot \vec{V}\neq 0$. Aber Sie könnten den Begriff "Quelle" auch verwenden, um "Ursache von" zu bedeuten, in diesem Fall ist "Quelle" nicht gleichbedeutend mit$\nabla \cdot \vec{V}\neq 0$. Sie können sich das Kreisgesetz von Ampère ansehen und sagen, dass die$\vec{B}$Feld wird durch einen Strom oder ein sich änderndes elektrisches Feld verursacht. Es ist also nicht so$\nabla \cdot \vec{B}=0$impliziert, dass das B-Feld keine "Quelle" im allgemeinen Sinn des Wortes hat.

Wenn$\vec{B}$das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit darstellt, die den Raum füllt, dann impliziert eine Nulldivergenz, dass nirgendwo Wasser eingespritzt/entfernt wird. Aber$\vec{B}$stellt nicht das Geschwindigkeitsfeld einer raumfüllenden Flüssigkeit dar.