Was macht die Dirac-Delta-Funktion physikalisch, während das Gaußsche Gesetz aus dem Coulombschen Gesetz abgeleitet wird?

Bei dieser Ableitung werden die Quellkoordinaten als " S " und die Koordinate des Punktes, an dem das Feld berechnet werden soll, wird als " R ". Bitte folgen Sie diesem Wikipedia-Link und klicken Sie unter "Ableitung des Gauß-Gesetzes aus dem Coulomb-Gesetz" auf den "Umrissbeweis".

Endlich kommt das raus

∇ ⋅ E ( R ) = ρ ( R ) ϵ 0 .
Aber ρ ist eigentlich definiert für die " S "Koordinaten und ρ ( R ) , Wo R Der Punkt, an dem das elektrische Feld berechnet wird, ist 0. Hier kann ich nicht verstehen, wie das geht ∇ ⋅ E ( R ) ist gleich ρ ( R ) ϵ 0 .Die Informationen über ρ ( S ) geht in der Endgleichung völlig verloren. Was macht eigentlich die Dirac-Delta-Funktion?

Diese Frage (v3) ist im Wesentlichen ein Duplikat von physical.stackexchange.com/q/38404/2451

Antworten (3)

Diracs Delta ist eine Funktion, die eine Verteilung (in diesem Fall der Ladung) beschreibt, die sich auf einen Punkt konzentriert: genau das, was Sie brauchen. Im Wesentlichen lauten die Gleichungen auf der gegebenen Beweisskizze im Klartext wie folgt:

(1) Coulombsches Gesetz einer Punktladung (2) Coulombsches Gesetz integriert für eine gleichmäßig verteilte Ladung mit Dichte ρ (Putten ρ = e 0 δ gibt dir zurück (1)). Jeder Punkt trägt dazu bei ρ . (3) Feld R / R 3 beschreibt ein Feld, das an einem Punkt am Ursprung entsteht, ohne andere Quellen. Wir erkennen diesen Term unter dem Integral (2). (4) Die Quellen von E sind ein Integral über Beiträge von Quellen mit Betrag ρ an jedem Punkt - was im Grunde nur aussagt: "Ein glatter Ladungsfleck ist genauso wie eine kontinuierliche Verteilung kleiner Punktladungen". (5) Nur Neuformulierung von (4) (mathematisch unter Verwendung der Delta-Funktionsdefinition).

Also wirklich, diese Gliederung macht praktisch nichts. Es heißt: "Wir haben das Coulombsche Gesetz für eine Punktladung auf eine kontinuierliche Ladungsverteilung verallgemeinert, indem wir sie addiert haben, und, oh Überraschung, dass die Quelle des resultierenden elektrischen Felds die Ladungsverteilung ist, die wir an erster Stelle eingefügt haben." Wenn Sie mich fragen, ist dieser "Beweis" eine Art Zirkelschluss.

ρ ( S → ) ist Funktion von S → Wo S → ist der Positionsvektor des Ortes der Ladungsdichte R → ist die Position, an der Sie rechnen möchten E ( R → ) . Was Sie also im Wesentlichen tun, ist das elektrische Feld aufgrund eines elementaren Volumens zu berechnen D 3 S befindet sich an der Stelle S → und schließlich Integrieren über alle solche Beiträge für alle solche S → .

Wichtig: Das Gesetz in der Differentialform und gültig für alle r und ρ ( R ) ≠ 0 für alle R als R kann ein beliebiger Punkt im Raum sein, also gerade R = S .Mit anderen Worten, Sie müssen sagen, für eine Punktladung (Kugelsymmetrie)

ρ ( R ) = Q 4 π R 2 δ ( R − S )
.Wenn Sie auf diese Weise schreiben, verlieren Sie nicht Ihre Informationen, bei denen die Gebühr erhoben wird R = S .

Danke Prof. Shonku für die Erklärung. Ich bin aus folgendem Grund etwas verwirrt.
Welcher Teil der Antwort verwirrt Sie? ρ ( R ) ist für jeden R Im Weltall. Wenn Sie setzen ρ ( R ) = 0 dann bedeutet es, dass es bei Null ist R = S auch was nicht stimmt. R geschrieben wird, ist der Sinn einer Variablen, die nicht für eine bestimmte Position steht R = R 0 .
Danke Prof. Shonku für die Erklärung. Ich bin aus folgendem Grund etwas verwirrt. Bei der obigen Aufgabe sollen wir die Divergenz des elektrischen Feldes herausfinden E ( R ) . R ist der Positionsvektor des Punktes, an dem E ist berechnet. Die Ladungsverteilung, die das Feld erzeugt E ( R ) ist auf Distanz S vom Ursprung. Daher wird die Ladungsverteilung geschrieben als ρ ( S ) . (Fortsetzung)
(Forts.) Nun, wenn wir endlich den Ausdruck von finden ∇ ⋅ E ( R ) es kommt heraus ρ ( R ) / ϵ 0 , was eine Funktion von ist R nicht S . das sagt, dass die ∇ ⋅ E ( R ) unabhängig von den Quellkoordinaten ist. Vermuten ρ ( S ) ist eine endliche Größe, aber ρ ( R ) = 0 . Dann ∇ ⋅ E ( R ) wird 0 sein. Es gibt keine Wirkung von ρ ( S ) An ∇ . E ( R ) . Aber ρ ( S ) ist die Ursache von E ( R ) . Wie ist es möglich, dass die Ursache für E ( R ) hat keinen Einfluss auf die ∇ ⋅ E ( R ) ?
Angenommen, es gibt einen Punkt innerhalb einer ausgedehnten Quelle mit der Ladungsdichte rho. An diesem Punkt wollen wir div.E berechnen. Wird es dasselbe sein wie für einen Punkt außerhalb der erweiterten Quelle?
Wenn du schreibst ρ ( R ) = 0 es ist nicht richtig. Es sollte sein ρ ( R = R 0 ) = 0 .Weil, wie ich erwähnt habe R ist eine Variable in der Gleichung. Und die Gleichung ist für alle gültig R Und ρ ( R ) sollte so geschrieben werden, dass es alle Informationen über die Gebührenverteilung für alle enthält R .

Ich glaube, ich habe die Antwort gefunden. Betrachten wir den Fall einer gleichförmig geladenen Kugel mit Radius R und Ladungsdichte ρ . Das Feld innerhalb dieser Kugel ist E ich N = ρ × R 3 ϵ 0 . Hier R ist der Abstand vom Zentrum und R < R . Wenn wir die Divergenz von berechnen E ich N Dann

∇ . E ( R ) = ρ ϵ 0
Bitte beachten Sie, dass ρ ist eigentlich ρ ( R ) was für r < R konstant ist.

Das elektrische Feld E Ö u T = ρ × R 3 3 × ϵ 0 × R 2 für R > R .

Wenn wir die Divergenz dieses Feldes berechnen, erhalten wir

∇ . E ( R ) = 0 , Bitte beachten Sie das für diesen Punkt ( R > R ) ρ ( R ) = 0 .

Aus diesem Grund stimme ich der Interpretation nicht zu ρ ( R ) von Prof. Shonku Das beweist es ∇ . E ( R ) = ρ ( R ) ϵ 0 Wo ρ ( R ) ist die Ladungsdichte genau an der Stelle des Feldes E ( R ) wird gemessen. Wenn R ist so, dass der Punkt dann innerhalb einer ausgedehnten Ladungsverteilung liegt ∇ . E ( R ) ist nicht Null. Wenn R ist dann so, dass der Punkt außerhalb einer ausgedehnten Ladungsverteilung liegt ∇ . E ( R ) ist Null. Danke

Wenn E Ö u T = ρ R 3 3 ϵ 0 R 2 Und ρ = 0 Dann E Ö u T = 0 aber ist es?
Wenn es keine Ladungsverteilung auf der Kugel gibt, dann ist es eine neutrale Kugel. Also wird E(out) 0 sein und E(in) wird auch 0 sein. Aber hier spielt die Dirac-Delta-Funktion die Rolle, indem sie rho(r)=rho für r<R und rho(r)=0 für r>R zuweist . Ich glaube, wir reden vom selben, aber in einer anderen Sprache. Danke
Okay. Im Grunde hast du das gezeigt ρ ( R ) ≠ 0 für R < R Und ρ ( R ) = 0 für R > R was gleichbedeutend mit sagen ist ρ ( R ) = Q 4 π R 2 δ ( R − S ) für eine einmalige Gebühr befindet sich bei R = S was ich vorhin sagte.
ja. Das habe ich gesagt. Das war mein Punkt, dass die Informationen nicht verloren gehen, weil der explizite Ausdruck für ρ ( R ) enthält die Information, wo sich die Ladung befindet.
Es ist mir immer noch nicht klar, wie eine einfache Schreibweise "rho(r)" ohne Integration oder Summation ohne Vorzeichen die Ladungsdichte für den gesamten Bereich von r ausdrücken kann. Aber ich verstehe jetzt sehr gut, dass hier die Dirac-Delta-Funktion die Rolle spielt, indem sie nur der Ladungsdichte an dem bestimmten Punkt, an dem wir E(r) berechnen, Relevanz zuweist.
Weil ein δ ( R − S ) physikalisch bedeutet, dass es Null ist, wenn R ≠ S und ungleich Null, wenn nur R = S . Sie kombinieren also diese beiden Informationen in einem einzigen Ausdruck. Andernfalls müssen Sie zwei verschiedene Gleichungen für zwei verschiedene Bereiche schreiben.
Ich denke, Sie ermutigen mich, das Diagramm von rho (r) vs. r zu visualisieren und dann Delta (rs) damit zu multiplizieren. Auf diese Weise sind nur die gesamten Informationen auf einen Blick sichtbar.
Ja, für eine Einzelpunktgebühr können Sie dies tun, aber für andere Verteilungsarten ist es möglicherweise kein Dirac-Delta, sondern möglicherweise eine andere Funktion, für die Sie einen einzelnen Ausdruck schreiben können ρ . Sagen wir für den Fall, wo ρ ( R ) = konst für R < R Und ρ ( R ) = 0 für R > R Dann ρ kann geschrieben werden als ρ ( R ) = Konst × θ ( R − R ) Wo θ ( X ) ist schwere Seitenschrittfunktion definiert als θ ( X ) = 0 für X < 0 Und θ ( X ) = 1 für X > 0 . Dirac-Delta-Funktion kommt nur für diskrete Verteilung.
Was macht die Dirac-Delta-Funktion physikalisch, während das Gaußsche Gesetz aus dem Coulombschen Gesetz abgeleitet wird?
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