Wie kommt man aus dem Coulombschen Gesetz zum Gauß'schen Gesetz (Integralform) und wie daraus zur Differentialform?

Betrachten wir der Einfachheit halber$n$Punktgebühren$q_1$,$\ldots$,$q_n$, an Positionen$\vec{r}_1$,$\ldots$,$\vec{r}_n$, in der elektrostatischen Grenze, mit Vakuumpermittivität$\epsilon_0$.

Lassen Sie uns nun eine mögliche Strategie skizzieren, um das Gaußsche Gesetz aus dem Coulombschen Gesetz zu beweisen :

1. Leiten Sie aus dem Coulombschen Gesetz ab, dass das elektrische Feld am Ort$\vec{r}$Ist

   $$\tag{1} \vec{E}(\vec{r})~=~ \sum_{i=1}^n\frac{q_i }{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r}_i}{|\vec{r}-\vec{r}_i|^3} .$$

2. Leiten Sie die Ladungsdichte ab

   $$\tag{2} \rho(\vec{r})~=~\sum_{i=1}^n q_i\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_i).$$

3. Erinnern Sie sich an die folgende mathematische Identität

   $$\tag{3}\vec{\nabla}\cdot \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}~=~4\pi\delta^3(\vec{r}) .$$ ( Diese Phys.SE-Antwort kann nützlich sein, um Gleichung (3) zu beweisen, die auch geschrieben werden kann als$\nabla^2\frac{1}{|\vec{r}|}=-4\pi\delta^3(\vec{r})$).

4. Verwenden Sie Gl. (1)-(3) um das Gaußsche Gesetz in Differentialform zu beweisen

   $$\tag{4} \vec{\nabla}\cdot \vec{E}~=~\frac{\rho}{\epsilon_0} .$$

5. Leiten Sie das Gaußsche Gesetz in integraler Form über den Divergenzsatz her .

@Qmechanic hat bereits eine nette Antwort gegeben. Ich möchte gerne noch einen zur Verfügung stellen.

Ziehen Sie eine Gebühr in Betracht$q$von einer beliebigen Fläche (nicht unbedingt einer Kugel) umschlossen sein. Etwas wie das -

Jetzt schreiben Sie den Fluss, der aus dieser seltsamen Oberfläche kommt -

$$\phi_E = \displaystyle \oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d\mathbf{S}}$$ Wir wissen das - $$\mathbf{E} = E \vec{r} = \dfrac{1}{4\pi \epsilon_0} \dfrac{q}{r^2}\vec{r}$$ Also, hier in dieser seltsamen Oberfläche. Es gibt keinen festen Radius, oder? Und die Fläche, die hier betrachtet wird, ist keine kontinuierliche Fläche. Also, ich würde bekommen - $$\phi_E = \dfrac{q}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \oint_S \dfrac{\mathrm{d\mathbf{S}}}{r^2} \tag{1}$$ Daran erinnern, dass der Begriff $\dfrac{\mathrm{d\mathbf{S}}}{r^2}$ist die eigentliche Definition für den Steradiant - der gleich ist $\dfrac{1}{4\pi}$einer kompletten Sphäre. Dies gilt für jede Oberfläche. Einfach ausgedrückt ist dies das 3D-Analogon des $2\pi$Drehung im Kreis. Hier haben wir sein differentielles Element, dh $d\Omega = \dfrac{\mathrm{d\mathbf{S}}}{r^2}$Wir haben es vollständig integriert $$\displaystyle \oint_S \dfrac{\mathrm{d\mathbf{S}}}{r^2} = \displaystyle \oint_S d\Omega = 4\pi$$ Wenn wir dies wieder in (1) stecken, haben wir - $$\phi_E = \dfrac{q}{\epsilon_0}$$ Was impliziert - $$\displaystyle \oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d\mathbf{S}} = \dfrac{q}{\epsilon_0}$$ Ok, da wir mit der Ableitung der Integralform des Gaußschen Gesetzes (das für jede geschlossene Fläche gilt) fertig sind, kann die folgende Differentialform durch Anwendung des Divergenzsatzes erhalten werden - $$\nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}$$

Der Beweis von @Qmechanic ist ein schöner allgemeiner Weg, um das Gaußsche Gesetz aus dem Coulumb-Gesetz zu beweisen. Ich möchte jedoch einen einfacheren Beweis hinzufügen, den ich auf YouTube entdeckt habe.

Quelle: https://www.youtube.com/watch?v=X_CHPTZfUGo

vs_292, verfehlte nur einen kleinen Punkt. Das Skalarprodukt. Die Oberfläche$ds$sollte entlang des elektrischen Feldes sein, dh entlang$\bf{r}$(Positionsvektor).

Beweis des Satzes von Gauß (mit durchgezogener Null):

$$\phi = \frac{q}{\epsilon_0}$$ $$d\phi = \vec{E}\cdot d\vec{s}=E\hat{r}\cdot d\vec{s}$$ $$phi = \oint_\limits{s}E\hat{r}\cdot d\vec{s}$$ Hier ist dies die Projektion von$d\vec{s}$entlang$\hat{r}$. $$d\Omega = \frac{ds'}{r^2}$$ $$\phi = \oint_\limits{s} Eds' = \oint_\limits{s}\frac{1}{r\pi\epsilon_0}\cdot\frac{q}{r^2}ds'$$ $$\Rightarrow\phi=\frac{1}{r\pi\epsilon_0}q\oint_\limits{s}\frac{ds'}{r^2}$$ $$\Rightarrow\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}q\oint_\limits{s}d\Omega$$ $$\boxed{\Rightarrow\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}q4\pi = \frac{q}{\epsilon_0}}$$

Begleitbild zu den Diagrammen:

Quelle: Youtube-Kanal von Edupoint.