Ist es äquivalent, das Gaußsche Gesetz aus diskreten und kontinuierlichen Quellverteilungen abzuleiten?

Für die meisten Berechnungen sind die beiden Formen gleichwertig. Tatsächlich würde ich sagen, dass Sie die Identifikation sicher verwenden könnten

$$\tag{1} \int d^3 x \rho(\textbf x) \sim \sum_i q_i,$$ in all den Fällen, in denen es sinnvoll ist, von lokalisierten Gebühren zu sprechen (mit einigen Ausnahmen, siehe letzter Absatz). Mathematisch kann man diese Identifikation natürlich mit Dirac-Delta-Funktionen begründen , wodurch man (1) die Ladungsdichte bestimmt $\rho(\textbf x)$als $$\tag{2} \rho(\textbf x) = \sum_i q_i \delta^3(\textbf x - \textbf x_i),$$ und bedenkt das $$\tag{3} \int d^3x \rho(\textbf x) f(\textbf x) = \sum_i q_i \int d^3 x \delta^3(\textbf x - \textbf x_i) f(\textbf x) = \sum_i q_i f(\textbf x_i).$$

Die Verwendung der einen oder anderen Annäherung hängt nicht viel von der Art der Ladung ab, die analysiert wird, sondern von dem experimentellen Aufbau, der verwendet wird, um sie zu untersuchen/zu untersuchen (oder äquivalent dazu, an welchen Eigenschaften der Ladung wir interessiert sind).

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Nun zu einer Situation, in der die beiden Ansätze sehr unterschiedliche Ergebnisse liefern: Betrachten Sie ein Array von$N$Gebühren$q_1,...,q_N$befinden sich an den Punkten$\textbf x_1,...,\textbf x_N$. Die potentielle Gesamtenergie dieses Systems ist:

$$\tag{4} W = \frac{1}{8\pi\epsilon_0} \sum_{i \neq j} \frac{q_i q_j}{|\textbf x_i - \textbf x_j|}, \qquad i,j=1,...,N$$ wo es wichtig ist, die zu beachten $i\neq j$in der Summe, was daran liegt, dass wir die Energie, die aus der Wechselwirkung einer Punktladung mit sich selbst stammt, nicht berücksichtigen wollen . So etwas in Betracht zu ziehen, wäre sehr problematisch: Sie hätten eine Distanz $|\textbf x_i - \textbf x_i|=0$und eine offensichtlich unendliche Energie.

Aber was ist mit der kontinuierlichen Version von (4) ? In diesem Fall nimmt die potentielle Energie die Form an

$$\tag{5}W = \frac{1}{8 \pi \epsilon_0} \int \int d^3 x d^3 x' \frac{\rho(\textbf x) \rho(\textbf x')}{| \textbf x - \textbf x'|}.$$ Aber jetzt haben wir zwei Integrale, wie können wir eine Bedingung wie die implementieren $i \neq j$über? Das können wir nicht, und tatsächlich liefert dieser letzte Ausdruck andere Ergebnisse als (4) : Er enthält Selbstwechselwirkungsterme , dh er enthält die potentielle Energie, die aus der Wechselwirkung der Ladungen mit sich selbst stammt.

Um dies zu verstehen, betrachten Sie beispielsweise die einfache Situation mit zwei Ladungen$q_1$Und$q_2$an Punkten$\textbf x_1$Und$\textbf x_2$. Mit (4) erhalten Sie

$$\tag{6} W = \frac{1}{8\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{| \textbf x_1 - \textbf x_2| },$$ was Sie naiv erwarten würden. Verwenden Sie stattdessen (5) mit der Ladungsdichte $$\tag{7} \rho(\textbf x) = q_1 \delta^3(\textbf x - \textbf x_1) + q_2 \delta^3(\textbf x - \textbf x_2)$$ gibt: $$\tag{8} W = W_{11} + W_{22} + W_{12},$$ Wo $W_{12}$ist der Wechselwirkungsterm (6) , während $W_{11}$Und $W_{22}$sind die Selbstwechselwirkungen der ersten bzw. zweiten Ladung, die die Ausdrücke haben: $$\tag{9} W_{11} = \frac{1}{8\pi \epsilon_0} \int d^3 x \frac{q_1^2}{|\textbf x - \textbf x_1|} \delta^3(\textbf x - \textbf x_1),$$ $$\tag{10} W_{22} = \frac{1}{8\pi \epsilon_0} \int d^3 x \frac{q_2^2}{|\textbf x - \textbf x_2|} \delta^3(\textbf x - \textbf x_2).$$ Diese beiden zusätzlichen Terme verschwinden nicht nur nicht, sie sind unendlich . Tatsächlich ist leicht ersichtlich, dass sogar die potentielle Energie einer einzelnen Punktladung unendlich ist, wenn sie durch (5) berechnet wird.. Was sollen wir also mit all diesen eindeutig falschen (sind sie?) Unendlichkeiten anfangen? Müssen wir die ganze Theorie als fehlerhaft wegwerfen? Offensichtlich nicht: Um zu sehen, dass diese Unendlichkeiten nicht wirklich ein Problem sind, müssen wir uns nur daran erinnern, wofür die potentielle Energie ist: Sie gibt uns die Menge an Arbeit, die erforderlich/freigesetzt wird, wenn wir von einem Zustand in einen anderen gehen. Da wir eine Punktladung nicht aufbrechen können (nach unserer eigenen Definition), werden diese unendlichen Selbstenergien niemals mit anderen Systemen ausgetauscht. Sie sind nur (sehr große) konstante Terme, die der Wechselwirkungsenergie hinzugefügt werden, und wie wir wissen, ändert das Hinzufügen einer Konstante zur potentiellen Energie nichts an der Physik.