Beweis des Satzes von Gauß für die Elektrostatik aus dem Buch von Griffiths

Angenommen, die Ladung$q$befindet sich im Ursprung. Dann der Fluss von$\vec{E}$durch jede geschlossene Gaußsche Fläche$\Sigma$kann durch das Oberflächenintegral dargestellt werden:

$$\begin{equation} \Phi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\oint_{\Sigma}\frac{\vec{r}}{r^3}.d\vec{\sigma} \end{equation}$$

Zu beweisen, dass dieses Integral von der Oberfläche unabhängig ist$\Sigma$, benötigen Sie den folgenden Satz, den Sie leicht durch eine einfache Rechnung überprüfen oder online finden können.

Lassen$S$sei eine beliebige Oberfläche und nehme an$S'$ist die Projektion von$S$auf die Kugel$x^2+y^2+z^2=R^2$, Dann:

$$\iint_S\frac{\vec{r}}{r^3}.d\vec{\sigma}=\frac{{area}(S')}{R^2}$$ Wendet man diesen Satz mit an $R=1$zu Gleichung eins, dann die Fläche von $S'$ist das der gesamten Sphäre mit $R=1$und gleich ist $4\pi$. Dafür:

$$\Phi=\left(\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\right)4\pi=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

Notiz:$\frac{{area}(S')}{R^2}$ist der Raumwinkel der Fläche$S$