Ist es sinnvoll, eine Diskontinuität in der Oberflächenladungsdichte zu haben?

In dem Problem, an dem ich arbeite, gibt es einen Kugelkondensator mit Ladungen$Q$Und$-Q$über die Innen- bzw. Außenfläche und ist zur Hälfte mit einem Dielektrikum mit Permittivität gefüllt$\epsilon$. Und die Aufgabe besteht darin, das elektrische Feld im Inneren des Kondensators und die Oberflächenladungsdichte an der Innenfläche zu berechnen.

Unter Verwendung des Gaußschen Gesetzes habe ich herausgefunden, dass das elektrische Feld in der Region mit dem Dielektrikum und der leeren Region gleich ist, und sein Wert ist:

$$\vec{E(r)}=\frac{Q}{2\pi(\epsilon_0 +\epsilon)r^2}\hat e_r$$ Ich habe die Oberflächenladungsdichte berechnet, indem ich das elektrische Feld (bewertet am Innenradius des Kondensators) mit der Permittivität jedes Mediums multipliziert habe, sodass ich an der Verbindung eine Diskontinuität erhalte.

Einerseits erscheint es mir stimmig, über der Hemisphäre in Kontakt mit dem Dielektrikum eine größere Ladungsdichte zu haben, andererseits bin ich mir nicht sicher, wie ich diesen Sprung beim Übergang von einer Hemisphäre zur anderen interpretieren soll. Was am schlimmsten ist, ich denke, das Problem könnte sein, dass es in diesem Fall vielleicht nicht richtig ist, das Gaußsche Gesetz zu verwenden, weil die Gaußsche Oberfläche, die ich verwendet habe, genau eine Halbkugel ist, die jede Hälfte der inneren leitenden Kugel umgibt und eine Symmetrie verwendet Argument (und in der Lage sein, die elektrische Feldkonstante an jedem Punkt der Halbkugel zu berücksichtigen) habe ich angenommen, dass die Ladung über jede Hälfte der leitenden inneren Kugel gleichmäßig verteilt war, und jetzt erscheint mir diese Annahme zweifelhaft.

Was ist denn los? Ist es nicht realistischer anzunehmen, dass die Ladungsdichte über der leitenden inneren Kugel eine glatte Funktion ist, die sich mit dem Winkel ändert?$\theta$(Kondensator so ausrichten, dass die mit Dielektrikum gefüllte Halbkugel oben liegt) statt einer zweiteiligen konstanten Funktion mit sprunghaftem Sprung an$\theta=\pi/2$? Klingt es stimmig? Wenn ja, gibt es wohl keine einfache Möglichkeit, das elektrische Feld im Kondensator und die Ladungsdichte an der Innenfläche zu berechnen, oder doch?