Eine dielektrische Kugel in einem anfänglich gleichförmigen elektrischen Feld und Darstellungstheorie von SO(3)

Ich habe kürzlich gelernt, dass die sphärische Harmonische höchster Ordnung, die zur Darstellung der räumlichen Verteilung von Zerfallsprodukten eines Teilchens erforderlich ist, zur Bestimmung seines Spins verwendet werden kann, indem Argumente verwendet werden, die die Darstellungstheorie von SO (3) / Addition von Drehimpuls beinhalten.

Ich suche ein ähnliches Argument für das gut untersuchte Problem einer dielektrischen Kugel in einem ansonsten gleichförmigen elektrischen Feld. Dies wird zum Beispiel in Griffiths' Electrodynamics, Abschnitt 4.7 in der dritten Ausgabe gelöst (ich verwende eine Low Price Edition aus Indien, wo es auf Seite 205 steht). Er kommt am Ende dieses Problems zu dem Schluss, dass "das Feld im Inneren (überraschenderweise) einheitlich ist".

Ich habe das Gefühl, dass dieses Ergebnis weniger überraschend ist, wenn man Ideen aus der SO(3)-Darstellungstheorie anwendet, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das Argument genau formulieren soll. Hier ist mein loser Gedankengang - das Feld ist ein Vektorfeld mit einer bestimmten Richtung, also hat es eine Drehimpulseinheit (oder ist gegeben durch ein l = 1 sphärische Harmonische). Daher muss die induzierte Oberflächenladung auf der dielektrischen Kugel gegeben sein durch P 1 ( cos ⁡ θ ) = cos ⁡ ( θ ) . Das Feld im Inneren ist ein Vektorfeld, das von diesen Ladungen ausgeht, also muss es wieder einheitlich sein.

Ich versuche auch, dies zu verwenden, um die höchste Ordnung zu bestimmen (dh höchste l ) Bestandteil von Y l M im gesamten elektrischen Feld nach Berücksichtigung der Polarisation der Kugel.

Antworten (1)

Das Vorhandensein des externen elektrischen Feldes bricht S Ö ( 3 ) Zu S Ö ( 2 ) . Nehme an, dass E orientiert sich entlang der z -Achse, dann Drehungen um die z -Achse (natürlich so gewählt, dass sie durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft) ist eine Symmetrie des Problems. Das S Ö ( 2 ) Invarianz impliziert nur, dass das Potential unabhängig von ist φ , der Polarwinkel. Somit hat man, dass das Skalarpotential die Form hat: Φ ( ρ , z ) (in zylindrischen Polarkoordinaten) bzw Φ ( R , θ ) (in sphärischen Polarkoordinaten).

Nun kann man zum Beispiel die allgemeinere Lösung der Laplace-Gleichung außerhalb der dielektrischen Sphäre verwenden, um zu sehen, dass die φ Unabhängigkeit legt alle Bedingungen fest Y l M für M ≠ 0 bis Null. Es sind die Randbedingungen, diese Kraft l > 1 Harmonische zu verschwinden. Das folgt also nicht aus Symmetrieüberlegungen.

Bearbeiten: Das elektrische Feld im räumlichen Unendlichen übersetzt sich in die Randbedingung für die Laplace-Gleichung ϕ = − E R cos ⁡ θ auf einem großen Radius R das im Limit R → ∞ wird zur räumlichen Unendlichkeit. Das zwingt alle l > 1 Oberschwingungen (im Bereich außerhalb der dielektrischen Sphäre) ohne weitere Berechnung verschwinden.

Was du sagst, ist mir klar. Was ich im Hinterkopf denke ist folgendes: Wir haben Wigner-Eckart thm. in der QM, die sich mit Operatoren mit "bestimmtem Drehimpuls" befasst, oder mit anderen Worten, mit Operatoren, die von SO(3) unabhängig sind. Ich versuche hier auf etwas ähnliches zu kommen. Denken Sie an einen Operator L das braucht ein elektrisches Feld E 0 die existierte, bevor das Dielektrikum eingesetzt wurde, und gibt das elektrische Feld innerhalb der Kugel zurück E In = L E 0 . Nun, das möchte ich sagen L transformiert als Tensor und verwendet das, um zu sehen, wie sich das höchste 'l' in E_0 auf das höchste 'l' in E_{in} bezieht
Guter Punkt. Lassen Sie mich versuchen, das, was Sie sagen, wie folgt umzuformulieren: Können wir die Tatsache verwenden, dass E transformiert als Vektor unter S Ö ( 3 ) zu zeigen, dass die höheren Harmonischen nicht zum Skalarpotential beitragen können? Das könnte funktionieren, aber ich muss noch ein bisschen darüber nachdenken.
Eine dielektrische Kugel in einem anfänglich gleichförmigen elektrischen Feld und Darstellungstheorie von SO(3)
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v