Was ist die physikalische Bedeutung der Energiedichte eines elektrostatischen Feldes?

Tatsächlich ist in der Elektrostatik die Energiedichte des E-Feldes keine physikalische Observable. Wie Sie sagen, wird nur dann gearbeitet, wenn sich die Ladungen bewegen. Da die beiden Arten der Berechnung der Gesamtenergie gleich enden, können Sie nicht unterscheiden, ob Energie auf den Ladungen oder im Feld gespeichert ist. Auch das E-Feld selbst ist eher eine abstrakte mathematische Größe, ohne die alles im Sinne des Coulomb-Gesetzes berechnet werden kann.

Die physikalische Realität von E- und B-Feldern (und der damit verbundenen Energiedichte) wird nur in nicht statischen Fällen offensichtlich. Beispielsweise können sich bei elektromagnetischer Strahlung Felder im freien Raum ausbreiten, ohne mit Ladungen und Strömen verbunden zu sein, und die Strahlung kann an Nichtladungen (z. B. Lichtdruck) arbeiten. Denn aus den Maxwell-Gleichungen können wir eine allgemeine Formel der Energiedichte ableiten

$$\rho = \frac{\epsilon_0}{2} |\vec E|^2 + \frac{1}{2\mu_0} |\vec B|^2$$

was mit dem Fall der Elektrostatik zusammenfällt, folgern wir, dass auch in der Elektrostatik tatsächlich Energie in den Feldern gespeichert ist.

Wenn man eine Gebührenverteilung hat$q_1,\dots,q_n$an Punkten$\vec{r}_1,\dots,\vec{r}_n$, ist die Energie des Systems gegeben durch die Summe der Energie jedes Teilchens aufgrund seiner Wechselwirkung mit den anderen geteilt durch zwei, da jede Wechselwirkung zweimal gezählt wird, dh

$$U=\sum_{i=1}^n\sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i }}^{n}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_iq_j}{\|\vec{r}_i-\vec{r}_j\|}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nq_i \phi_i(\vec{r}_i)$$ wo $\phi_i(\vec{r}_i)$liegt das Potenzial bei $\vec{r}_i$aufgrund aller Gebühren außer $q_i$. Gehen wir zu einer kontinuierlichen Ladungsverteilung mit Ladungsdichte über $\rho(\vec{r})$, die Summation wird durch eine Integration über "infinitesimal chunks of charge" ersetzt $dq=\rho(\vec{r}) \textrm{d}V$. Dann ist die Energie des Systems $$U=\frac{1}{2}\int\limits_V \rho(\vec{r})\phi(\vec{r})\textrm{d}V$$ Nun, aufgrund des Gaußschen Elektrizitätsgesetzes $\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$wir haben $$U=\frac{1}{2}\int\limits_V \epsilon_0\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{E}(\vec{r})\right)\phi(\vec{r})\textrm{d}V$$ Unter Hinweis auf die Vektoridentität $\vec{\nabla}\cdot\left(f\vec{F}\right)=f(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})+\vec{F}\cdot(\vec{\nabla}f)$wir haben $$U=\frac{1}{2}\epsilon_0\left[\int\limits_V \vec{\nabla}\cdot\left(\vec{E}(\vec{r})\phi(\vec{r})\right)\textrm{d}V-\int\limits_V \vec{E}(\vec{r})\cdot\vec{\nabla}\phi(\vec{r})\textrm{d}V\right]$$ Durch Ersetzen des ersten Integrals über das Volumen $V$für einen über seine Grenze $\partial V$durch den Divergenzsatz, der besagt $\int_V\vec{\nabla}\cdot\vec{F}\textrm{d}V=\oint_{\partial V}\vec{F}\cdot\textrm{d}\vec{S}$und indem Sie sich an die Definition von Potenzial erinnern $-\vec{\nabla}\phi=\vec{E}$wir bekommen $$U=\frac{1}{2}\epsilon_0\left[\oint\limits_{\partial V} \vec{E}(\vec{r})\phi(\vec{r})\textrm{d}\vec{S}+\int\limits_V \vec{E}(\vec{r})\cdot\vec{E}(\vec{r})\textrm{d}V\right]$$ Nun können wir das Integrationsvolumen wählen $V$ganz Raum zu sein. Dann $\partial V$wäre unendlich weit weg von allen Ladungen und per Konvention das Potential $\phi$würde aussterben und das erste Integral verschwinden lassen. Dann bliebe folgender Ausdruck für die Energie des Systems übrig $$U=\frac{1}{2}\epsilon_0\int\limits_V \|\vec{E}(\vec{r})\|^2\textrm{d}V$$ Aus diesem Ausdruck folgt die Energiedichte $\Upsilon$bei $\vec{r}$wird von gegeben $$\Upsilon(\vec{r})=\frac{1}{2}\epsilon_0\|\vec{E}(\vec{r})\|^2$$ Jetzt können wir fragen, „wo“ diese Energie ist. Beachten Sie, dass wir sie als Energiedichte der Gesamtenergie der Ladungen in unserem Universum abgeleitet haben. Nichtsdestotrotz scheint diese Energiedichte auch dort verteilt zu sein, wo möglicherweise keine Ladungen vorhanden sind. Also stellen wir die Frage, gehört die Energie zur Ladungskonfiguration oder zum elektrischen Feld? Aus elektrostatischer Sicht sind beide äquivalent, und in unserer letzten Gleichung neigen wir dazu, uns das elektrische Feld als Energieträger vorzustellen. Beim Elektromagnetismus ist dies eine Notwendigkeit, da das elektrische Feld existieren und sich ziemlich unabhängig von seinen Quellenladungen in Form von elektromagnetischen Wellen ausbreiten kann, zum Beispiel Licht, das offensichtlich Energie trägt, da die meiste Energie auf dem Planeten Erde von der transportiert wird Sonne in dieser Form. Jede andere Frage, bitte fragen! ICH'

Ja,$\epsilon \vec E \cdot \vec E$ist der elektrostatische Anteil der vom Feld getragenen Energiedichte. Zur Energiedichte des elektromagnetischen Feldes gehört auch der magnetische Term:

$$\rho_{E,B} = \frac{\epsilon}{2} |\vec E|^2 + \frac{1}{2\mu} |\vec B|^2$$ und diese Formel gilt sogar für beliebige zeitabhängige, variable elektromagnetische Felder. Als Sie die Energiedichte erwähnten $$\frac 12 \int \rho_{\rm charge} \Phi \,\,dV,$$ man sollte beachten, dass man darauf achten muss, Doppelzählungen zu vermeiden. Wenn wir davon ausgehen, dass die Energie vom elektromagnetischen Feld getragen wird, sollten wir die nicht mehr hinzufügen $\rho_Q\cdot \Phi$Term separat, weil wir doppelt zählen könnten. Allerdings müssen sie teilweise getrennt und beide addiert werden.

Jedenfalls,$\epsilon|E|^2$ist sowieso ein Begriff in der Formel für die Gesamtenergie. Es ist wichtig zu wissen, weil nur die Gesamtenergie mit allen Termen, die vorhanden sein sollten, erhalten bleibt.

Man kann die Energie interpretieren$\int dV\,\,\epsilon|E|^2/2$als Arbeit, genauso wie für die Wechselwirkungsenergie der von Ihnen erwähnten Ladungen. Es ist die Arbeit, die erforderlich ist, um das elektrostatische Feld aus der Situation zu verändern$\vec E=0$zu der gegebenen Konfiguration von$\vec E$. Die Energie kann als integraler Bestandteil der Arbeit angegeben werden,

$$E_{\rm energy} = \int dV \int dt\, \vec E\cdot \frac{d\vec D}{dt},\qquad \vec D \equiv \epsilon \vec E$$ Beachten Sie, dass es keine gibt $1/2$in der obigen Formel; es kommt von der Integration. Je größer also das Feld an einem bestimmten Punkt ist, desto schwieriger ist es, seinen Wert dort zu steigern.