Wie auf dieser Seite http://en.wikipedia.org/wiki/Multipole_expansion zu sehen ist, erhalten wir eine Multipol-Expansion , ohne Azimutsymmetrie anzunehmen Koeffizienten für die Moment in der Expansion. Das Dipolmoment hat also 3 Terme, der Quadrupol 5 und so weiter. Dies unterscheidet sich von dem Fall der Azimutsymmetrie, da wir jeweils nur einen Koeffizienten für jeden Term benötigen.
3 Koeffizienten für das Dipolmoment zu interpretieren ist nicht so schlimm. Ich vermute, es repräsentiert die Dipolmomente entlang der 3 kartesischen Achsen? Und wie interpretieren wir haben müssen Koeffizienten für jeden Term?
Für die -ten Term nimmt man totalsymmetrische Rangtensoren die unter Kontraktionen jedes Index völlig spurlos sind. Das kommt daher, weil so die Multipolmomente bzw. die Kugelflächenfunktionen aus den kartesischen Koordinaten aufgebaut werden. Zum Beispiel hat Komponenten, die aussehen das ist eine symmetrische spurlos Matrix. Symmetrisch zu sein hat Komponenten, spurlos entfernt eine andere Komponente und hinterlässt die welches ist
Die sphärische Multipolentwicklung ergibt sich aus der Lösung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten. Wir versuchen durch Trennung der Variablen zu lösen und es erscheint eine Eigenwertgleichung.
Die Zahl 3 im zweiten Term wird durch die Entartung bestimmter Eigenwerte verursacht (das sind 3 linear unabhängige Lösungen für denselben Eigenwert). Dasselbe Argument gilt für höhere Terme.
Ein glücklicher Zufall erlaubt es uns, das Potential des Dipols (ein Ladungspaar mit entgegengesetztem Vorzeichen und einem kleinen Abstand) im zweiten Term zu identifizieren, aber für höhere Terme ist es nicht so einfach.