Kontinuität des elektrischen Potentials aufgrund einer Oberflächenladung

Die Antwort ist nicht allgemein . Es existieren pathologische Ladungsdichten, bei denen das elektrische Potential Sprünge aufweist. Glücklicherweise lassen sich diese aus physikalischen Gründen immer ausschließen: Sie haben normalerweise endliche Mengen an entgegengesetzten Ladungen, die unendlich nahe beieinander liegen, was beliebig hohe elektrische Felder und damit divergierende Energiedichten und unendliche Konfigurationsenergien ermöglicht.

Wie funktioniert das? Nehmen Sie zwei leitende Platten und bringen Sie ihre Kanten in Kontakt. Ich benutze gerne die nördlichen und südlichen Hemisphären einer bestimmten Sphäre, die am Äquator getrennt sind (was den Vorteil hat, dass keine fremden Unendlichkeiten eingeführt werden), aber der Einfachheit halber verwenden wir zwei halbunendliche Ebenen in der$x,z$Ebene und durch die getrennt$x$Achse.

Verbinden Sie nun beide Platten mit einer Spannungsquelle und legen Sie eine auf ein Potential$+V_0$und der andere zu$-V_0$. Das Potenzial bei der$x$Achse ist (natürlich!) konstruktionsbedingt diskontinuierlich.

Wenn Sie sich dabei unwohl fühlen, ziehen Sie in Betracht, gleichmäßige, aber entgegengesetzte Oberflächenladungen zu verteilen$\pm \sigma_0$auf der$\pm z$Platten. Fixieren Sie einige positive Koordinaten$z_0$. Zoomt man dann immer weiter auf die Platten zu (also beim Aufnehmen$x\rightarrow 0$) Die Platten werden größer und größer und wann$x\ll z_0$Die$-$Die Platte sieht so weit weg aus, dass das lokale Potential positiv und von Null weg begrenzt sein muss. Ebenso, wenn$z_0<0$das Potential nahe genug an den Platten muss negativ sein. Damit hast du die Punkte beliebig nah$x$Achse, die sowohl positive als auch negative Potentiale hat, die von Null weg begrenzt sind, so dass das Potential dort diskontinuierlich ist.

Warum ist das also kein Problem? In diesen pathologischen Beispielen bringen Sie viel negative Ladung in leitende Oberflächen neben viel negative Ladung. Dies setzt voraus, dass Sie sie mit einem Isolator mit einer Dicke von Null getrennt haben, der großen (wenn auch endlichen) Potentialunterschieden (also unendlichen elektrischen Feldern) standhalten kann. Dies ist einfach nicht physikalisch: Jedes Dielektrikum wird zusammenbrechen oder funken, wenn Sie sich diesen Bedingungen nähern. Sobald Sie eine endliche Trennung einführen, verschwindet die Diskontinuität.

Allgemeiner kann das elektrostatische Potential Diskontinuitäten aufweisen. Diese werden am häufigsten als Oberflächendiskontinuitäten betrachtet, in diesem Fall werden sie als Dipolschichten bezeichnet , die Sie sich als unendlich dünne Kondensatoren vorstellen können, die auf konstantem Potential liegen. (Daher müssen sie zwei Schichten entgegengesetzter, aber unendlicher Ladung haben, die wiederum nicht physikalisch ist.)

Eine echte Dipolschicht wäre so etwas wie eine Menge polarer Moleküle, die alle in die gleiche Richtung normalerweise zur Oberfläche zeigen. Wir wissen, dass das Potenzial im Inneren nicht diskontinuierlich ist und dass die elektrischen Felder im Inneren groß, aber endlich sind, aber wenn Sie draußen sind, sehen Sie nur zwei ebene Ladungsschichten, die für die ganze Welt so aussehen, als würden sie ein diskontinuierliches Potenzial aufbauen , also können Sie das genauso gut in Ihre Mathematik einbauen und davon ausgehen, dass es unendlich dünn ist .

Okay also lassen$\mathbf x_0$ein Punkt auf der Oberfläche sein, und lassen$\mathbf n$bezeichnen eine Normale zur Oberfläche at$\mathbf x_0$. Betrachten Sie den Unterschied

$$\begin{align} \Phi(\mathbf x_0 + \epsilon\mathbf n) - \Phi(\mathbf x_0 - \epsilon\mathbf n) &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_S \sigma(\mathbf x')\left(\frac{1}{|\mathbf x_0+\epsilon\mathbf n-\mathbf x'|}-\frac{1}{|\mathbf x_0-\epsilon\mathbf n-\mathbf x'|}\right) da' \end{align}$$ Aber erinnern Sie sich an die Taylor-Entwicklung $$\frac{1}{|\mathbf x +\epsilon\mathbf a|} = \frac{1}{\mathbf x} + \epsilon\frac{\mathbf a\cdot\mathbf x}{|\mathbf x|^3} + \mathcal O(\epsilon^2)$$ woraus folgt $$\begin{align} \frac{1}{|\mathbf x_0+\epsilon\mathbf n-\mathbf x'|}-\frac{1}{|\mathbf x_0-\epsilon\mathbf n-\mathbf x'|} &= 2\epsilon \frac{\mathbf n\cdot(\mathbf x_0-\mathbf x')}{|\mathbf x_0 - \mathbf x'|^3} +\mathcal O(\epsilon^2) \end{align}$$ und deshalb $$\Phi(\mathbf x_0 + \epsilon\mathbf n) - \Phi(\mathbf x_0 - \epsilon\mathbf n) =\epsilon\left(\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\int_S \sigma(\mathbf x')\frac{\mathbf n\cdot(\mathbf x_0-\mathbf x')}{|\mathbf x_0 - \mathbf x'|^3} da'\right) + \mathcal O(\epsilon^2)$$ woraus folgt $$\lim_{\epsilon\to 0}\Big(\Phi(\mathbf x_0+\epsilon\mathbf n)-\Phi(\mathbf x_0-\epsilon\mathbf n)\Big)=0$$ So $\Phi$ist bei der Oberflächenladung kontinuierlich.

Haftungsausschluss. Das ist kein mathematisch rigoroser Beweis, aber es ist etwas, von dem ich denke, dass es die meisten Physiker zufriedenstellen würde. Ich schlage vor, dass, wenn mehr Strenge gewünscht wird, die Frage zu math.SE migriert werden sollte, deren Möglichkeit zuerst vom Benutzer Qmechanic vorgeschlagen wurde.

Ein alternatives, vielleicht physikalischeres Argument ist:

Seit:

1. Das elektrische Feld sollte für eine Flächenladungsverteilung endlich sein, zB weil es lokal planar ist.
2. Das Potential ist das Linienintegral des elektrischen Feldes.
3. Das Linienintegral einer Funktion ohne Singularitäten ist stetig.

das Potential sollte kontinuierlich sein. Sie werden vielleicht feststellen, dass es der ersten Behauptung an Strenge mangelt.

Sie versuchen, dies zu lösen, indem Sie mit der Green-Funktion für die Poisson-Gleichung beginnen, die selbst eine Singularität hat. Dies ist wahrscheinlich nicht die natürlichste Methode. Als Alternative zu dem vorstehenden Argument könnten Sie die Bedingungen nachschlagen, die notwendig und/oder ausreichend sind, damit Lösungen der Poisson-Gleichung stetig sind.

Nebenbei möchte ich anmerken, dass das, was Sie zu beweisen versuchen, tatsächlich nicht gilt, wenn Sie eine Punktladung als Spezialfall einer Oberflächenladungsverteilung betrachten.