Was bedeutet die Ladungsdichte in der Differentialform des Gaußschen Gesetzes?

Question

Was bedeutet die Ladungsdichte in der Differentialform des Gaußschen Gesetzes?

Physik
Gauß-Gesetz
Elektrostatik
Maxwell-Gleichungen

Ajay Shanmuga Sakthivasan

Nehmen wir an, ich habe eine gleichmäßig geladene Kugel mit der Gesamtladung Q und dem Radius R. Das elektrische Feld aufgrund dieser Ladungsverteilung bei r = R / 2 ist gegeben durch:

E = \frac{k Q}{2 R^{2}} \hat{R}

$E = \frac{kQ}{2R^2}\hat{r}$ (Dies wurde von der integralen Form des Gaußschen Gesetzes abgeleitet). Angenommen, ich habe diesen Ausdruck und muss die Ladungsverteilung finden, dann verwende ich die Differentialform, die das sagt

\nabla . E = \frac{ρ}{ϵ_{0}}

$\nabla.E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$

\nabla . E

$\nabla.E$ wird mir geben

\frac{δ^{3} (r) Q}{2 ϵ_{0}}

$\frac{\delta^3(r)Q}{2\epsilon_0 }$ und das entspricht

\frac{ρ}{ϵ_{0}}

$\frac{\rho}{\epsilon_0}$ . Wenn ich diese Ladungsverteilung über den gesamten Raum integriere, erhalte ich Q/2 und nicht Q, d. h.

∭ ρ D v = ∭ \frac{δ^{3} (R) Q}{2} = \frac{Q}{2}

$\iiint\rho dV = \iiint\frac{\delta^3(r) Q}{2} = \frac{Q}{2}$ Entspricht also die Ladungsdichte in der differentiellen Form des Gaußschen Gesetzes der Ladung, die von der anfänglichen Gaußschen Oberfläche eingeschlossen wird, die verwendet wurde, um das elektrische Feld abzuleiten? Warum fehlt der restliche Teil der Ladungsverteilung? Mache ich die Dinge überhaupt richtig? Vielen Dank im Voraus.

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Was bedeutet die Ladungsdichte in der Differentialform des Gaußschen Gesetzes?

Frobenius · Answer 1

Einheitliche Volumenladungsdichte

\begin{matrix} (01) & ρ_{v} = \frac{Q}{v} = \frac{3 Q}{4 π R^{3}} \end{matrix}

$\begin{equation} \rho_{\rm v}=\dfrac{Q}{V}=\dfrac{3Q}{4\pi R^{3}} \tag{01} \end{equation}$ Gaußsches Gesetz über eine Kugel mit Radius

r < R

$\:r<R$ (Kugelsymmetrie)

\begin{matrix} (02) & E \cdot 4 π R^{2} = \frac{ρ_{v}}{ϵ_{0}} \cdot \frac{4 π}{3} R^{3} = \frac{Q}{ϵ_{0}} \cdot \frac{R^{3}}{R^{3}} \end{matrix}

$\begin{equation} E\cdot 4\pi r^{2}=\dfrac{\rho_{\rm v}}{\epsilon_{0}}\cdot \dfrac{4\pi}{3}r^{3}=\dfrac{Q}{\epsilon_{0}}\cdot \dfrac{r^{3}}{R^{3}} \tag{02} \end{equation}$ So

\begin{matrix} (03) & E (R) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{R^{3}} R = k \frac{Q}{R^{3}} R \end{matrix}

$\begin{equation} E(r)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \dfrac{Q}{R^{3}}r=k \dfrac{Q}{R^{3}}r \tag{03} \end{equation}$ und in Vektorform

\begin{matrix} (04) & E (R) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{R^{3}} R \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{E}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \dfrac{Q}{R^{3}}\,\mathbf{r} \tag{04} \end{equation}$ Jetzt

\begin{matrix} (05) & \nabla \cdot E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{R^{3}} \underset{3}{\underset{⏟}{\nabla \cdot R}} = \frac{3 Q}{4 π ϵ_{0} R^{3}} = \frac{ρ_{v}}{ϵ_{0}} \end{matrix}

$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{E}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \dfrac{Q}{R^{3}}\,\underbrace{\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}}_{3}=\dfrac{3Q}{4\pi\epsilon_{0} R^{3}}=\dfrac{\rho_{\rm v}}{\epsilon_{0}} \tag{05} \end{equation}$

Danke, habe meinen Fehler gefunden. Die elektrostatische Feldgleichung sollte eine Funktion sein. Aber in meinem Fall ist es der Wert des Feldes an einem bestimmten Punkt.

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Ajay Shanmuga Sakthivasan

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Frobenius

Ajay Shanmuga Sakthivasan

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