Potentialdifferenz zwischen Punkt auf der Oberfläche und Punkt auf der Achse eines gleichmäßig geladenen Zylinders

Question

Potentialdifferenz zwischen Punkt auf der Oberfläche und Punkt auf der Achse eines gleichmäßig geladenen Zylinders

Benutzer57015

Frage:

Ladung wird gleichmäßig mit Ladungsdichte verteilt $ρ$ innerhalb eines sehr langen Zylinders mit Radius $R$ .

Finden Sie die Potentialdifferenz zwischen der Oberfläche und der Achse des Zylinders.

Drücken Sie Ihre Antwort in Bezug auf die Variablen aus $ρ$ , $R$ , und entsprechende Konstanten.

$Attempt:$

Ich habe Probleme damit, zu bestimmen, welche Gaußsche Oberfläche verwendet werden soll. Wenn ich einen Zylinder verwende, dann hätte der Zylinder eine unendliche Fläche, richtig? Wie kann ich damit umgehen? Wenn ich eine Kugel verwende (da ich versuche, die Potentialdifferenz zwischen nur zwei Punkten zu finden, einem auf der Oberfläche und einem auf der Achse), wie groß ist die Ladung in der Kugel?

Wenn ich eine Kugel als Gaußsche Fläche verwende, erhalte ich:

\int \vec{E} . D \vec{A} = \frac{Q}{ϵ_{0}}

$\int \overrightarrow{E}.d\overrightarrow{A}=\frac{Q }{\epsilon _{0}}$

Δ v = - \int_{ich}^{F} \vec{E} . D \vec{S}

$\Delta V = -\int_{i}^{f}\overrightarrow{E}.d\overrightarrow{s}$

E = \frac{ρ}{4 π R^{2} ϵ_{0}}

$E = \frac{\rho }{4\pi R^{2}\epsilon _{0}}$

Δ v = \frac{ρ}{4 π R^{2} ϵ_{0}} \int_{0}^{R} D R = \frac{ρ}{4 π R ϵ_{0}}

$\Delta V = \frac{\rho }{4\pi R^{2}\epsilon _{0}} \int_{0}^{R}dR=\frac{\rho }{4\pi R\epsilon _{0}}$

Aber das ist falsch.

Antworten (4)

Potentialdifferenz zwischen Punkt auf der Oberfläche und Punkt auf der Achse eines gleichmäßig geladenen Zylinders

Der Quantenmann · Answer 1

Alle obigen Antworten sind richtig, obwohl Ihnen keine Antwort darauf gibt, WARUM Sie KEINE Kugel verwenden sollten, und keine Ihr Problem mit der "unendlichen Gaußschen Oberfläche" anspricht, und Sie scheinen etwas verwirrt darüber zu sein, wie die Dinge tatsächlich funktionieren (Sie müssen verstehen wie die Dinge funktionieren, bevor Sie sich mit dem mathematischen Teil befassen).

Wenn Sie also eine Kugel verwenden, ist das Integral im Gaußschen Gesetz nicht einfach, da die meisten Vektoren des elektrischen Felds nicht senkrecht sind (und Sie daher erhalten können $E$ aus dem Integral). Sie nutzen einfach nicht die Symmetrien des Systems.

Sie müssen Ihre Intuition verwenden, um zu erraten, wohin die elektrischen Feldvektoren zeigen (hier zylindrisch nach außen, weil Sie einen unendlichen Zylinder haben), also müssen Sie einen Zylinder verwenden. Denken Sie über die Symmetrien der Quellen nach, um die Symmetrien der Felder herauszufinden.

Nun zu Ihrem unendlichen Gaußschen Flächenproblem: Sie müssen nur eine Gaußsche Fläche endlicher Größe erzeugen, denn das Gaußsche Gesetz gibt Ihnen das NET (gesamte) elektrische Feld - erzeugt aus seiner gesamten Umgebung - auf einer Seite der Gleichung (in der Integral), aber Sie können es nur durch die beigefügte Ladung (andere Seite der Gleichung) finden. Sie müssen also keine unendliche Gaußsche Oberfläche haben.

Evolvente · Answer 2

Evolvente

Tatsächlich ist die Verwendung eines Zylinders für Ihre Gaußsche Oberfläche der beste Ansatz. Die Tatsache, dass die Fläche unendlich ist, sollte keine Rolle spielen, wenn Sie beispielsweise die unendliche Länge des Zylinders als Variable ausdrücken $l$ . Beachten Sie, dass die Gaußsche Oberfläche, $A = 2\pi Rl$ , und das $Q = \rho l$ , Die $l$ Begriff sollte sich schließlich in Ihrem Training aufheben.

Benutzer57015

Vielen Dank für die Beantwortung. Wenn ich das mache, bekomme ich

Δ v = \frac{ρ}{2 π R ϵ_{0}} \int_{0}^{R} D R = \frac{ρ}{2 π ϵ_{0}}

$\Delta V = \frac{\rho }{2\pi R\epsilon_{0}}\int_{0}^{R}dR=\frac{\rho }{2\pi \epsilon_{0}}$ Ist das richtig? Es sieht für mich nicht richtig aus, da es unabhängig von R ist.

Evolvente

Ich bin nicht 100%, aber sollte das nicht

R

$R$ innerhalb des Integrals sein?

Benutzer57015

Also jetzt bekomme ich

\frac{ρ}{2 π ϵ_{0}} l N (R)

$\frac{\rho }{2\pi \epsilon_{0}}ln(R)$ für die Antwort. Kann ich irgendwie sicher sein, dass das stimmt?

Flauschiges Kaninchen · Answer 3

Wie Eternal Code sagte, ist die Verwendung eines Zylinders innerhalb des ursprünglichen Problemzylinders der richtige Ansatz. Wenn Sie das Gaußsche Gesetz anwenden, sollten Sie feststellen, dass das elektrische Feld im Inneren des unendlich langen, gleichmäßig geladenen Zylinders liegt

E = \frac{ρ R}{(2 ε_{0})}

$E=\frac{ρr}{(2ε_0)}$

Um nun die Potentialdifferenz zwischen der Oberfläche und der Achse des Zylinders zu berechnen,

Δ v = - \int_{0}^{R} \frac{ρ R}{(2 ε_{0})} D R

${\Delta V}=-\int_0^R \frac{ρr}{(2ε_0)}dr$

Daraus ergibt sich die Potentialdifferenz zwischen Mantelfläche und Achse des Zylinders

Δ v = \frac{- ρ (R^{2})}{4 ε_{0}}

${\Delta V}=\frac{-ρ(R^2)}{4ε_0}$

Könntest du mir bitte erklären, wie du darauf gekommen bist $E = \frac{ρ R}{2 ϵ_{0}}$ $E = \frac{\rho r}{2\epsilon_{0}}$
Wäre es sinnvoll, Ihre beiden Antworten in einem einzigen Beitrag zusammenzufassen?

Flauschiges Kaninchen · Answer 4

Nach dem Gaußschen Gesetz

$E\cdot A=\frac {q}{\epsilon_0}$ (unter der Annahme, dass das elektrische Feld zu jedem Zeitpunkt konstant ist $dA$ und dass es immer parallel zu ist $dA$ , was in diesem Fall der Fall ist)

Definieren wir die im ursprünglichen Problemzylinder enthaltene Ladung als $Q$ während die Ladung in dem kleineren guassischen Zylinder wie folgt ist $q$ .

Daher ist die Ladung im kleineren Gaassischen Zylinder aufgrund der gleichmäßigen Ladungsverteilung vom Verhältnis der Volumina der beiden Zylinder abhängig:

Q = Q \frac{π (R^{2}) L}{π (R^{2}) L}

$q=Q\frac{\pi(r^2)L}{π(R^2)L}$

Dies vereinfacht zu

Q = Q \frac{π (R^{2})}{π (R^{2})}

$q=Q\frac{\pi(r^2)}{π(R^2)}$

Auch das wissen wir $Q=ρV=ρπ(R^2)L$

Setzen wir dies ein erhalten wir

E \cdot A = \frac{ρ π (R^{2}) L (R^{2})}{ε_{0} (R^{2})}

$E\cdot A=\frac{ρπ(R^2)L(r^2)}{ε_0(R^2)}$

E = \frac{ρ π (R^{2}) L (R^{2})}{ε_{0} (R^{2}) 2 π R L}

$E=\frac{ρπ(R^2)L(r^2)}{ε_0(R^2)2πrL}$

Das Abbrechen von oben und unten gibt uns die Antwort

E = \frac{ρ R}{2 ε_{0}}

$E=\frac{ρr}{2ε_0}$

Potentialdifferenz zwischen Punkt auf der Oberfläche und Punkt auf der Achse eines gleichmäßig geladenen Zylinders

Benutzer57015

Antworten (4)

Der Quantenmann

Evolvente

Benutzer57015

Evolvente

Benutzer57015

Flauschiges Kaninchen

Benutzer57015

Floris

Flauschiges Kaninchen

Wie findet man das elektrische Skalarpotential eines unendlichen Drahtes mit der Poisson/Laplace-Gleichung?

Unendlich geladener Draht und Differentialform des Gaußschen Gesetzes

Elektrisches Potential der Kugel

Ist das Gaußsche Gesetz falsch, oder ist es möglich, dass ∫sE⃗ ⋅ds⃗ =0∫sE→⋅ds→=0\int_s{\vec E} \cdot d\vec{s}=0 nicht E⃗ =0E→=0 impliziert \vec E = 0?

Problem zum Gaußschen Gesetz

Elektrisches Feld einer gleichmäßig geladenen Kugel mit einem Hohlraum [geschlossen]

Wie wende ich das Gaußsche Gesetz auf koaxial leitende Zylinder an?

Das elektrische Nullpotential der „Erde“

Elektrisches Feld der unendlichen Platte

Ladung außerhalb der Gaußschen Oberfläche trägt nicht zum Fluss bei?