Ist das Gaußsche Gesetz falsch, oder ist es möglich, dass ∫sE⃗ ⋅ds⃗ =0∫sE→⋅ds→=0\int_s{\vec E} \cdot d\vec{s}=0 nicht E⃗ =0E→=0 impliziert \vec E = 0?

Dies ist eine Frage aus David J. Griffiths Einführung in die Elektrodynamik .

Eine bestimmte Ladungsdichte σ ( θ ) = k cos ⁡ ( θ ) wird über die Oberfläche einer Kugelschale mit Radius geklebt R . Finden Sie das resultierende Potential innerhalb und außerhalb der Kugel.

Die Frage wurde mit Legendre-Polynomen gelöst und die endgültige Antwort für das Potenzial innerhalb der Kugel war: v ( R , θ ) = k R 3 ϵ 0 C Ö S θ

Diese letzte Antwort ist verwirrend, weil sich herausstellt, dass das elektrische Feld innerhalb der Kugel davon abhängig ist R Und θ wohingegen das elektrische Feld innerhalb einer Schale unabhängig von der Ladungsverteilung außerhalb ist z e R Ö aus dem Gaußschen Gesetz.

Meine Zweifel:

  1. Warum ist das elektrische Feld im Inneren nicht Null?

  2. Kann das Gaußsche Gesetz das erklären, oder versagt es hier?

Da das Lösen mit dem gewöhnlichen Oberflächenintegral das gleiche Ergebnis lieferte und da die. Divergenz innerhalb der Schale ist z e R Ö , kam ich zu dem Schluss, dass Legendre-Polynome und das Gaußsche Gesetz in Differentialform korrekt sind. Das Problem sollte also bei der integralen Form des Gaußschen Gesetzes liegen: ∫ S E → . D S → = Q ϵ 0

Die Antwort, die ich auf diesen Zweifel erhielt, lautet: "Da die Ladungen an der Oberfläche haften und nicht gleichmäßig verteilt sind, muss das elektrische Feld im Inneren nicht Null sein."

Dies ist nicht überzeugend, da der Beweis des Gaußschen Gesetzes nicht erwartet, dass sich die Ladungen frei bewegen können. Das Vorhandensein einer externen Kraft, die die Ladungen an Ort und Stelle halten würde, ändert nichts an dem Theorem. Sprich nur eine einzige Ladung Q ich ist draußen vorhanden

Dann ∫ S E → ich . D S → = Q ich N S ich D e ϵ 0 = 0

Wenn nun mehr Ladungen vorhanden sind, ergibt sich nach einer beliebigen Verteilung ein elektrisches Nettofeld E → = E → 1 + E → 2 + E → 3 + . . .

Also der Nettofluss,

∫ S E → . D S → = ∫ S E → 1 . D S → + ∫ S E → 2 . D S → + ∫ S E → 3 . D S → + . . . = 0

Oder ist das möglich ∫ S E → . D S → = 0 bedeutet nicht E → = 0 ?

Antworten (2)

Sie müssen hier vorsichtig sein. Das Gaußsche Gesetz gilt immer, aber es ist nicht immer möglich, daraus auf das elektrische Feld zu schließen. Der entscheidende Schritt ist

(1) ∮ E → ⋅ D S → = | E → | S
Dies gilt nur, wenn das Feld auf der Gaußschen Oberfläche eine konstante Größe hat und senkrecht zur Oberfläche steht, an der es sich schneidet.

Also zum Beispiel, wenn Sie eine Ladung außerhalb einer Box platzieren und rechnen ∮ E → ⋅ D S → auf der den Kasten begrenzenden Fläche ist dieses Integral 0 denn es ist keine Nettogebühr enthalten, was aber NICHT bedeutet E → = 0 innerhalb der Box, da (1) nicht gilt: Aufgrund einfacher Geometrie hat das Feld nicht an jedem Punkt auf der Oberfläche der Box die gleiche Größe.

Mit anderen Worten, ja, es ist durchaus möglich, es zu haben 0 Nettofluss _ ∮ E → ⋅ D S → = 0 Aber E → ≠ 0 .

Eine ähnliche Situation tritt auf, wenn eine Ladungsverteilung keine bestimmte Symmetrie hat: Es wird sehr schwierig, eine Oberfläche zu finden, auf der die Größe von E → ist konstant und verwenden Sie daher (1), um das Feld abzuleiten.

In solchen Fällen muss man für praktische Berechnungen auf das Superpositionsprinzip zurückgreifen.

Sie haben mit Ihrer Schlussfolgerung vollkommen recht

∮ S E ⋅ D A = 0

bedeutet das nicht E ( P ) = 0 an jedem Punkt. Ein sehr einfaches Gegenbeispiel dazu ist die Betrachtung eines gleichmäßigen elektrischen Feldes, das den gesamten Raum ausfüllt:

E ( P ) := E 0

für einen festen elektrischen Feldvektor ungleich Null E 0 . Es ist nicht schwer zu sehen, dass der Gesamtfluss durch jede geschlossene Fläche hier Null sein muss, da die Feldlinien nur die unendlichen Geraden sind, in denen die Vektoren liegen E 0 an jeden Punkt im Raum geheftet Punkt entlang, und von der Geometrie her muss jede unendliche gerade Linie, die in eine geschlossene und endliche Oberfläche eintritt, diese verlassen.

Obwohl Sie vielleicht gesehen haben, dass das Gaußsche Gesetz "verwendet" wurde, um ein elektrisches Feld zu finden, werden Sie bei genauerer Betrachtung feststellen, dass in jedem Fall eine Art zusätzliche Annahme gemacht wird, z. B. dass die Ladungsverteilung eine Form von Symmetrie hat und dass sich diese Symmetrie auf das Feld überträgt - und dieser letzte Punkt ist nicht trivial: Betrachten Sie die Summe des Feldes Ihres bevorzugten Gaußschen Gesetzesproblems mit dem obigen Feld, dh stellen Sie sich vor, Ihre Ladungsquelle befände sich in einer bereits bestehenden Umgebung mit elektrischem Feld. Dieses Annahmenmachen ("Handwinken") ist genau deshalb notwendig, weil das Gaußsche Gesetz allein nicht ausreicht.

Bearbeiten Sie Ihre Antwort, die es sein soll ∬ S
@Electroelf Sie brauchen nicht immer zwei Integralzeichen für ein Oberflächenintegral ... es wird unpraktisch und irgendwie umständlich, das immer zu tun. Müsste dann ein Raumzeitintegral sein ∫ ∫ ∫ ∫ ? Wie wäre es mit Integralen über unendlichdimensionale Räume, würden Sie immer schreiben ∫ ∫ ∫ ⋯ ∫ ∫ ∫ ?
@Electroelf Der Kontext ist klar, da das Differential eindeutig das einer Oberfläche ist.
@Electroelf: Ich kann nicht, weil MathJax hier anscheinend nicht das richtige Symbol unterstützt (LaTeX-Befehl "\ oiint"), das aus zwei hintereinander liegenden Integralzeichen mit einer entsprechend verlängerten Schleife in der Mitte bestehen sollte, und ich nicht erinnere dich an die Tricks, wie man es vortäuscht.
@knzhou: Ja, aber es gibt immer spezielle Ausnahmen für Gemeinschaftsräume, denke ich. Wie warum verwenden wir X , j , z für bis zu 3 Dimensionen statt nur X 1 , X 2 , usw.? Wenn wir 1-, 2- und 3-Dims in einem Bereich bevorzugt behandeln, lassen Sie uns dies in einem anderen tun, und wenn nicht in dem anderen, dann auch nicht in dem einen. Machen Sie es "konsequent inkonsistent", wenn Sie es sowieso nicht konsistent machen wollen - zumindest beruhigt das meine inneren Sinne besser. Ich ... mag dieses einzelne integrale Zeichen da oben nicht so sehr rn
Das stimmt, ich stimme nur der Vermutung von @ Electroelf nicht zu, dass es falsch ist, kein doppeltes Integralzeichen zu haben. Das ist, als würde man sagen, sich für die Verwendung zu entscheiden ( X 1 , X 2 ) in 2D ist falsch, weil wir verwenden sollten ( X , j ) .
@knzhou: Ich habe nicht gesagt, dass es falsch ist. Aber ich würde auch sagen, dass Electroelf hinter diesem Symbol her war, weil ich "\oiint" geschrieben hatte, was gehofft hatte, dass es mir das Zwei -Integral-Symbol geben würde, also versuchte sie, es dem zu entsprechen, was ich persönlich anstrebte. Ich schätze das von ihm, aber wirklich, dieses Mathjax-Suxx
Ist das Gaußsche Gesetz falsch, oder ist es möglich, dass ∫sE⃗ ⋅ds⃗ =0∫sE→⋅ds→=0\int_s{\vec E} \cdot d\vec{s}=0 nicht E⃗ =0E→=0 impliziert \vec E = 0?
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