Was genau findet das Linienintegral eines elektrischen Feldes über einer geschlossenen Schleife?

Ohne ein vorhandenes Magnetfeld$\oint{\vec{E}\cdot d\ell=0}$ist immer wahr.

Ihr Fehler ist, dass Sie den Kanteneffekt eines Parallelplattenkondensators nicht berücksichtigen. Wie das Bild Sie sehen können,

wenn man sich dem Rand der parallelen Platten nähert, kann die horizontale Komponente des elektrischen Feldes nicht vernachlässigt werden. Wenn Sie diesen Effekt einrechnen, können Sie zwei verschiedene elektrische Felder haben, und das Gesetz eines konservativen elektrischen Felds gilt immer noch.

Sie haben ein Vektorfeld erzeugt, das kein elektrostatisches Feld sein kann. Das ist weil$\oint \mathbf E \cdot \text d\mathbf l \neq 0$für das Feld.

Wenn Sie bei Ihrem Aufbau vorsichtiger sein möchten, haben endliche Ladungslinien Randfelder, die sich über die Ladungslinien hinaus erstrecken. Wenn Sie dies berücksichtigen würden, würden Sie ein Nulllinienintegral erhalten.

Betrachten Sie ein glattes Vektorfeld$\mathbf{E}:\Bbb{R}^3\to\Bbb{R}^3$des Formulars$\mathbf{E}(x,y,z)= f(x,z)\,\mathbf{e}_y= (0,f(x,z),0)$. Jetzt durch Integrieren über eine rechteckige Schleife wie Ihre (die in einer Ebene mit konstanten Werten liegt$z$) wir glauben, dass

Also, wenn$E_1\neq E_2$dann ist die RHS ungleich Null, was für Sie beweist, dass es sich um ein solches Vektorfeld handelt$\mathbf{E}$ist NICHT konservativ.

Um deine beiden Fragen explizit zu beantworten:

1. Wenn Sie ein elektrostatisches Feld nehmen (das per Definition von "elektrostatisch" ziemlich konservativ ist) und über eine geschlossene Schleife integrieren, ist das Ergebnis immer Null. Daher ist es trivialerweise wahr, dass die Potentialdifferenz (die aufgrund des konservativen Feldes wohldefiniert ist) zwischen Punkt$A$und Punkt$A$Ist$0$.

2. "Du kannst niemals zwei verschiedene elektrische Felder erzeugen..." Du solltest sehr vorsichtig mit deiner Formulierung sein. Die korrekte Aussage ist „ein glattes Vektorfeld der Form$\mathbf{E}(x,y,z)=f(x,z)\,\,\mathbf{e}_y = (0,f(x,z),0)$(Wo$f$ist eine nicht konstante Funktion von$x$) ist nicht konservativ und entsteht daher nicht als Ergebnis eines elektrostatischen Feldes.

Der Grund, warum Sie verwirrt waren, ist, dass Sie sich von der Zeichnung täuschen ließen. Sie scheinen zwei parallele Plattenkondensatoren zu zeichnen, was das typische Beispiel für eine Ladungskonfiguration ist, die ein konstantes Feld in der Richtung senkrecht zu den Platten erzeugt. Sie sollten jedoch bedenken, dass dies nur zutrifft, wenn die Platten unendlich groß sind (also können wir sicherlich nicht zwei Sätze davon "nebeneinander" haben).

In dem von Ihnen gezeichneten Fall gibt es zwei Parallelplattenkondensatoren endlicher Größe. In diesem Fall hat das elektrische Feld NICHT die spezielle Form$\mathbf{E}(x,y,z)= (0,f(x,z),0)$, was die Zeichnung fälschlicherweise suggeriert. Das richtige Feld sieht sehr kompliziert aus. Unten ist ein Bild, das ich gefunden habe und das ungefähr zeigt, wie die Feldlinien für einen einzelnen Parallelplattenkondensator aussehen.

Wie Sie auf dem Bild selbst sehen können, hat dieses Vektorfeld$\mathbf{e}_x$Komponente und auch a$\mathbf{e}_z$Komponente (im Gegensatz zu dem, was Ihre vereinfachte Zeichnung vermuten lässt).

Wenn Sie zwei davon betrachten und sie getrennt voneinander platzieren (z. B. 10 Meter voneinander entfernt), können Sie sich sicher vorstellen, dass die Feldlinien äußerst kompliziert sind. Die analytische Durchführung solcher Linienintegrale ist natürlich so gut wie unmöglich, aber es ist eine Frage des Experiments (und damit der Theorie), dass solche Felder konservativ sind, das Schleifenintegral also immer$0$.

Damit die elektrischen Feldvektoren normal sind, wie Sie es gezeigt haben, müssen die Platten des Kondensators als unendlich groß betrachtet werden.

Dies führt dazu, dass die beiden Platten, die Sie räumlich getrennt gezeigt haben, im Wesentlichen Teile dieser idealen großen Platte sind, die für die Ableitung der Formel berücksichtigt wird.

Sie könnten versuchen, auf verschiedenen Teilen dieser mathematischen Platte eine unterschiedliche Ladungsdichte beizubehalten, aber im elektrostatischen Fall wird sie schließlich so umverteilt, dass das Feld innerhalb des Metalls Null ist.

Daher kein Widerspruch.

Eine andere Möglichkeit, dies zu erkennen, besteht darin, zu versuchen, das Potenzial darzustellen. Die Region zwischen jedem Plattenpaar ist ziemlich gleichförmig, und eine ist viel steiler als die andere, aber das Feld in der Region in der Mitte verbindet sie nahtlos. Das Potenzial entlang eines beliebigen Pfads in der Ebene geht auf und ab, aber die Höhen müssen den Tiefen in jeder Schleife entsprechen.

Das elektrische Feld ist der Potentialgradient, man kann es sich ein bisschen so vorstellen$d\phi/dl$während Sie sich entlang der Linie bewegen. Das ist,$E\cdot dl$ist der Betrag, um den die Oberfläche ansteigt oder abfällt, wenn Sie sich entlang des Pfads bewegen. Diese muss um jede Schleife herum gleich Null sein, da Sie auf derselben Höhe landen müssen, auf der Sie begonnen haben, aber es gibt keinen Widerspruch, wenn verschiedene Teile der Linie unterschiedliche Steigungen haben. Das Problem besteht darin, die Gleichfeldnäherung über ihren Gültigkeitsbereich hinaus zu verwenden.