Ist elektrisches Potential immer kontinuierlich?

Im Elektromagnetismus sagen wir, dass jedes konservative elektrische Feld E → ( R → ) ist einem Skalarpotential zugeordnet v ( R → ) so dass E → ( R → ) = − ∇ v ( R → ) . Wenn das elektrische Feld kontinuierlich ist, muss das jeweilige elektrische Potential differenzierbar sein, da sonst seine Steigung nicht überall berechnet werden könnte.

Es gibt jedoch einige Fälle, in denen das elektrische Feld diskontinuierlich ist, was zu einem nicht differenzierbaren elektrischen Potential führt. Letzteres ist jedoch immer noch kontinuierlich.

Warum ist das? Warum ist das elektrische Potential selbst dann nicht kontinuierlich, wenn das elektrische Feld diskontinuierlich ist? Muss das elektrische Potential immer und überall durchgehend sein? Ein mathematischer Ansatz (also nicht nur eine qualitative Erkenntnis) ist das, was ich suche.

Sie sagen, dass das Potenzial „differenzierbar sein muss“ und in manchen Fällen auch „nicht differenzierbar“ ist.
@G.Smith Ich wollte sagen, dass es differenzierbar sein muss, wenn das elektrische Feld kontinuierlich ist. Ich werde das OP bearbeiten.

Antworten (1)

Nein. Beispielsweise ist das Potential einer Punktladung am Ort der Punktladung unstetig, wo das Potential unendlich wird.

Da alle Ladungen in der Natur Punktladungen (Elementarteilchen wie Elektronen und Quarks) zu sein scheinen, hat das elektrische Potential immer irgendwo Unstetigkeiten. Wenn wir mit kontinuierlichen Ladungsverteilungen arbeiten, verwenden wir einfach eine Näherung, die über viele Punktladungen mittelt und die Diskontinuitäten in ihrer Ladungsdichte, ihrem Potenzial, ihrem Feld, ihrer Feldenergiedichte usw. verwischt.

Und was ist mit der ersten Frage? „Warum ist es so, dass selbst wenn das elektrische Feld diskontinuierlich ist, das elektrische Potential es nicht ist?“
Das ist nicht wahr. Bei der erwähnten Punktladung sind sowohl das Feld als auch das Potential diskontinuierlich.
Ist das elektrische Feld in diesem Punkt nicht unendlich? Was ich verstehen möchte, ist, warum das elektrische Potential kontinuierlich ist, wenn das elektrische Feld endliche Diskontinuitäten aufweist.
Die Potentialänderung zwischen zwei Punkten ist das Linienintegral des Feldes zwischen diesen Punkten. Angenommen, das Feld hat irgendwo eine endliche Diskontinuität. Nehmen Sie zwei Punkte ϵ weg von der Diskontinuität und berechnen Sie das Linienintegral, das zwei endliche Teile haben wird. Als ϵ → 0 , geht dieses Linienintegral gegen Null, also ist die Potentialänderung über der endlichen Diskontinuität Null, also ist das Potential dort stetig.
Ist elektrisches Potential immer kontinuierlich?
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