Elektrisches Potential auf einer unendlichen Platte

Sie wissen das, wenn Sie eine Punktladung mit Ladung haben$Q$, dann die Potentialdifferenz$V$zwischen räumlicher Unendlichkeit und jedem Punkt in einer Entfernung$r$von der Gebühr wird durch gegeben

Da das elektrische Feld gleichförmig ist, haben Sie richtig geschlussfolgert, dass zwischen jedem Punkt und der räumlichen Unendlichkeit eine unendliche Potentialdifferenz bestehen muss. Sie sind überrascht, weil dies im Widerspruch zur ersten Formel für zu stehen scheint$V_\textrm{point}$.

Es gibt jedoch eine gute Erklärung. Wenn$\dfrac{kQ}{r}$ist ursprünglich für eine Punktgebühr, was Werte von$Q$Und$r$sollen wir für den Fall ein Blatt einstecken? Beachten Sie, dass das Blatt unendlich viel Ladung hat, also vielleicht$Q$sollte unendlich sein. Dies erklärt, warum wir möglicherweise eine unendliche Potentialdifferenz erhalten. Es tritt jedoch ein konkurrierender Effekt auf$r$. Wenn Sie auf dem unendlichen Blatt weiter hinausgehen, entfernen Sie sich immer weiter von dem Punkt, an dem Sie versuchen, das Potenzial zu berechnen, also scheint es wie vielleicht$r$sollte sehr groß sein, vielleicht auch unendlich groß. Mal sehen, wie man das Problem richtig löst.

Um das Problem richtig zu lösen, müssen Sie sich darüber im Klaren sein, dass jeder Punkt auf dem unendlichen Blatt wie eine kleine Punktladung wirkt, also gibt jeder Punkt seine eigene$\dfrac{kQ}{r}$Beitrag. Das Gesamtpotential ist durch Überlagerung die Summe dieser Beiträge. Wir können die Beiträge durch Integration zusammenfassen. Lassen Sie uns zuerst ein Koordinatensystem auswählen, auf dem sich die Platte befindet$x$-$y$Ebene, und der Punkt, an dem wir das Potenzial wissen wollen, ist auf der$z$Achse. Wo können wir auf Zylinderkoordinaten umschalten$\rho = \sqrt{x^2+y^2}$. Dann die Distanz$r$zwischen dem Punkt mit Koordinate$z$auf der$z$Achse und ein Punkt mit Koordinate$\rho$wird von gegeben$r = \sqrt{z^2 + \rho^2}$, und so die Anwendung der$kQ/r$Formel, der Beitrag$dV$auf das Potenzial von ein bisschen Ladung$dQ$ein Abstand$\rho$vom Ursprung ist gegeben durch

$\begin{equation} \begin{aligned} V&=\int^\infty_0 \frac{2 \pi k \sigma \rho d \rho}{\sqrt{z^2+\rho^2}} \\ &= \pi k \sigma \int^\infty_0 \frac{du}{\sqrt{z^2+u}}\\ &=2 \pi k \sigma \left( \sqrt{\infty + z^2} - |z| \right). \end{aligned} \end{equation}$

Aufgrund der Unendlichkeit in der Quadratwurzel ist das obige Potential tatsächlich unendlich, obwohl mit einem endlichen begonnen wurde$kQ/r$Gesetz. Diese Unendlichkeit war möglich, weil wir unendlich viel hatten$Q$. Beachten Sie, dass das elektrische Feld immer noch funktioniert, da der unendliche Teil keinen räumlichen Gradienten hat:

Sie sollten "Einführung in den Elektromagnetismus von David j. Griffiths" kaufen oder herunterladen. Er spricht über dieses Problem im 2. Kapitel, im Grunde ist seine Antwort, dass in diesem Problem unsere Konvention, die Unendlichkeit als "Nullpotential" zu nehmen, zusammenbricht ... aus seinem Lehrbuch, Kapitel 2, Abschnitt 2.3.1 (Kommentare zum Potential): -

Offensichtlich hat Potential als solches keine wirkliche physikalische Bedeutung, denn wir können seinen Wert an jedem beliebigen Punkt durch eine geeignete Verschiebung von O nach Belieben anpassen. In diesem Sinne ist es eher wie Höhe: Wenn ich Sie frage, wie hoch Denver liegt, werden Sie es wahrscheinlich tun Sagen Sie mir seine Höhe über dem Meeresspiegel, denn das ist ein bequemer und traditioneller Bezugspunkt. Aber wir könnten uns auch darauf einigen, die Höhe über Washington DC oder Greenwich oder wo auch immer zu messen. Das würde einen festen Betrag von all unseren Meeresspiegelwerten hinzufügen (oder vielmehr subtrahieren), aber es würde nichts an der realen Welt ändern. Die einzige Größe von intrinsischem Interesse ist der Höhenunterschied zwischen zwei Punkten, und der ist unabhängig von Ihrem Referenzniveau gleich. Allerdings gibt es eine "natürliche" Punkt für 0 in der Elektrostatik, analog zum Meeresspiegel für die Höhe – und das ist ein Punkt, der unendlich weit von der Ladung entfernt ist. Gewöhnlich setzen wir dann „den Nullpunkt des Potentials auf unendlich“. (Da V (0) = 0 ist, ist die Wahl eines Referenzpunktes gleichbedeutend mit der Wahl eines Ortes, an dem V Null sein soll.) Aber ich muss Sie warnen, dass es einen besonderen Umstand gibt, in dem diese Konvention versagt: wenn sich die Ladungsverteilung selbst ausdehnt zur Unendlichkeit. Das Symptom für Probleme ist in solchen Fällen, dass das Potenzial explodiert. Die Abhilfe besteht einfach darin, einen anderen Referenzpunkt zu wählen (bei diesem Problem könnten Sie den Ursprung verwenden). Beachten Sie, dass die Schwierigkeit nur bei Lehrbuchaufgaben auftritt; im "wirklichen leben" gibt es keine ewig andauernde ladungsverteilung, und wir können immer die unendlichkeit als bezugspunkt nehmen. (Da V (0) = 0 ist, ist die Wahl eines Referenzpunktes gleichbedeutend mit der Wahl eines Ortes, an dem V Null sein soll.) Aber ich muss Sie warnen, dass es einen besonderen Umstand gibt, in dem diese Konvention versagt: wenn sich die Ladungsverteilung selbst ausdehnt zur Unendlichkeit. Das Symptom für Probleme ist in solchen Fällen, dass das Potenzial explodiert. Die Abhilfe besteht einfach darin, einen anderen Referenzpunkt zu wählen (bei diesem Problem könnten Sie den Ursprung verwenden). Beachten Sie, dass die Schwierigkeit nur bei Lehrbuchaufgaben auftritt; im "wirklichen leben" gibt es keine ewig andauernde ladungsverteilung, und wir können immer die unendlichkeit als bezugspunkt nehmen. (Da V (0) = 0 ist, ist die Wahl eines Referenzpunktes gleichbedeutend mit der Wahl eines Ortes, an dem V Null sein soll.) Aber ich muss Sie warnen, dass es einen besonderen Umstand gibt, in dem diese Konvention versagt: wenn sich die Ladungsverteilung selbst ausdehnt zur Unendlichkeit. Das Symptom für Probleme ist in solchen Fällen, dass das Potenzial explodiert. Die Abhilfe besteht einfach darin, einen anderen Referenzpunkt zu wählen (bei diesem Problem könnten Sie den Ursprung verwenden). Beachten Sie, dass die Schwierigkeit nur bei Lehrbuchaufgaben auftritt; im "wirklichen leben" gibt es keine ewig andauernde ladungsverteilung, und wir können immer die unendlichkeit als bezugspunkt nehmen. wenn sich die Ladungsverteilung selbst bis ins Unendliche erstreckt. Das Symptom für Probleme ist in solchen Fällen, dass das Potenzial explodiert. Die Abhilfe besteht einfach darin, einen anderen Referenzpunkt zu wählen (bei diesem Problem könnten Sie den Ursprung verwenden). Beachten Sie, dass die Schwierigkeit nur bei Lehrbuchaufgaben auftritt; im "wirklichen leben" gibt es keine ewig andauernde ladungsverteilung, und wir können immer die unendlichkeit als bezugspunkt nehmen. wenn sich die Ladungsverteilung selbst bis ins Unendliche erstreckt. Das Symptom für Probleme ist in solchen Fällen, dass das Potenzial explodiert. Die Abhilfe besteht einfach darin, einen anderen Referenzpunkt zu wählen (bei diesem Problem könnten Sie den Ursprung verwenden). Beachten Sie, dass die Schwierigkeit nur bei Lehrbuchaufgaben auftritt; im "wirklichen leben" gibt es keine ewig andauernde ladungsverteilung, und wir können immer die unendlichkeit als bezugspunkt nehmen.

Elektrische Felder aufgrund unendlicher Ladungsschichten: