Problem zum Gaußschen Gesetz

Ich habe über das elektrische Feld in der Elektrostatik gelesen und das elektrische Feld hat eine Eigenschaft, die ∇ × E = 0 , Und ∇ ⋅ E = ρ ε .

Aber die zweite Formel, die wir hatten, leitet sich vom Gaußschen Divergenzsatz ab und wo wir uns mit dem Volumen befassen.

Aus dem Gaußschen Gesetz,

∮ E ⋅ D S = Q ε

Und wenn

Q = ρ ∭ D v
ρ = Volumenladungsdichte

Und so aus dem Gaußschen Divergenzsatz,

∮ E ⋅ D S = ∭ ( ∇ ⋅ E ) D v = ∭ ρ ε D v

So ∇ ⋅ E = ρ ε Daher erhalten wir die Relation.

Aber hier haben wir es mit Volumenladungsdichte ( ρ ).

Aber wenn es eine Linienladung gibt, sollten wir uns mit der Linienladungsdichte befassen ( λ ).

Meine Frage ist: Wird diese Beziehung auch von der Leitungsladung wahr sein? Weil ich diese Beziehung nicht aus dem elektrischen Feld einer Linienladung erhalten kann, sagen wir eine geladene kreisförmige Schleife.

Zum Aufladen des elektrischen Feldes der kreisförmigen Schleife in einer Höhe z aus seiner Mitte ist

E = λ 2 ε z R ( z 2 + R 2 ) 3 / 2

{ R = Radius}

Wenn ich rechne ∇ ⋅ E , ich kann nicht λ ε

Gilt die Beziehung also für Leitungsentgelte?

NEIN. ∇ ⋅ E → = ρ ϵ ist eine gut etablierte Maxwell-Gleichung, die für elektrostatische Felder unter Verwendung des Gaußschen Divergenzsatzes abgeleitet wurde. Sie können die Volumenladungsdichte nicht einfach durch die Linienladungsdichte ersetzen λ ....... außerdem stimmen die Maße beim Austausch auch nicht überein λ anstelle von ρ
Wenn Sie streng zweidimensional arbeiten, kann eine solche Substitution vorgenommen werden, die im Wesentlichen eine Transformation von R ^ 3 zu R ^ 2 ist. Hier können Sie jedoch keine Divergenz bzgl. 3 Variablen nehmen und trotzdem eine Linienladungsdichte verwenden
Bitte verwenden Sie die standardmäßige Großschreibung und Interpunktion und markieren Sie Ihre Mathematik mit mathjax.

Antworten (2)

Ich stimme der vorherigen Antwort nicht ganz zu: Es gibt eine einfache Möglichkeit, Volumenladungsdichten in Form von Oberflächen- und Linienladungsdichten darzustellen, damit wir sie in Maxwells Gleichungen verwenden können. Wie sinnvoll das ist, ist allerdings umstritten. Aus praktischen Gründen ist es normalerweise einfacher, die Integralform zu verwenden.

Stellen Sie sich eine unendliche Ladungsebene mit einer gewissen Oberflächenladungsdichte vor σ . Was wäre die entsprechende Volumenladungsdichte ρ Sei? Nun, die gesamte Ladung ist darauf beschränkt , in (sagen wir) dem zu sein X j − Ebene, und wir können eine Dirac-Delta-Funktion verwenden, um dies zu erzwingen! Daher für dieses Problem (wenn die Platte in at z = 0 )

ρ = σ δ ( z ) .

Beachten Sie, dass diese Gleichung auch dimensional konsistent ist, da das Dirac-Delta die Dimensionen 1/Länge hat. Das Gaußsche Gesetz in Differentialform ist dann gerecht

∇ → ⋅ E → = σ δ ( z ) ϵ 0

Es ist eine schöne Übung, diese Definition und die Poisson-Gleichung zu verwenden, um zu zeigen, dass das elektrische Feld eine Diskontinuität von haben muss σ / ϵ 0 auf beiden Seiten der Platte.

In ähnlicher Weise können wir eine Volumenladungsdichte für einen Draht definieren (ausgerichtet entlang der z Achse) als Wesen

ρ = λ δ ( X ) δ ( j ) = λ δ ( R ) 2 π R , Wo  R 2 = X 2 + j 2 .

Eine logische Schlussfolgerung daraus ist zu erkennen, dass die "Volumenladungsdichte" einer Punktladung einfach ist

ρ = Q δ 3 ( R ) .

Wenn wir dies in die Divergenzgleichung einsetzen, erhalten wir das wichtige Ergebnis that

∇ → ⋅ ( R ^ R 2 ) = 4 π δ 3 ( R ) .

Während es also vielleicht nicht "nützlich" ist, einfache Probleme zu lösen, können Sie sicherlich viele Informationen über Oberflächen-, Linien- und Punktladungsverteilungen extrahieren, indem Sie ihre Volumendichten entsprechend schreiben!

Die Antwort ist nein. Die erste Maxwell-Gleichung in ihrer lokalen (oder differentiellen) Form gilt nur für die Volumenladungsdichte. Die Integralform beschreibt den Fluss eines elektrischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche (was ein Volumen ergibt v ). Dieser Fluss wird als Gesamtladung ausgedrückt Q im Volumen v .

Wenn es ein Problem gibt, bei dem Sie eine Linien- oder Oberflächenladung haben, müssen Sie unbedingt die integrale Form der ersten Maxwell-Gleichung verwenden, niemals die lokale.

Sagen Sie mir dann, was die allgemeine Form von ∇.E für eine Linienladungsverteilung und eine Oberflächenladungsverteilung wäre?
"Divergenz stellt die Volumendichte des nach außen gerichteten Flusses eines Vektorfeldes von einem infinitesimalen Volumen um einen bestimmten Punkt dar." -- aus Wiki.
Und ∇ ∘ E → = lim Δ v → 0 1 Δ v ∮ S E → ∘ D S → . In der Geometrie entspricht die Verwendung von Divergenz also dem Nachdenken über ein gewisses Volumen v .
Ich denke, das kann man nicht bestimmen ∇ ∘ E → während Sie nur eine Linien- oder Oberflächenladungsverteilung haben, da Sie über ein Volumen nachdenken müssen.
Will man die Flächen-, Linien- oder Punktgrößen direkt in den Maxwell-Gleichungen verwenden, muss man die Gleichungen im Sinne der Verteilungen verwenden. Es war in den 1970er Jahren in Frankreich in Mode. Sie können einen Blick auf en.wikipedia.org/wiki/Distribution_(Mathematik) werfen.
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