Divergenz des elektrischen Feldes aufgrund einer Punktladung [Duplikat]

Ich versuche, Elektrodynamik auf eigene Faust formal zu lernen (ich habe nur einen Einführungskurs belegt). Ich bin auf die differentielle Form des Gaußschen Gesetzes gestoßen.

∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 .

Das ist in Ordnung und alles, aber ich stoße auf ein meiner Meinung nach konzeptionelles Missverständnis, wenn ich dies für eine Punktgebühr bewerte.

Ich weiß, dass die Mathematik in sphärischen Koordinaten besser aussieht, aber ich werde kartesisch verwenden.

Wenn ich also die Divergenz berechne, erhalte ich:

∇ ⋅ E = ∇ ⋅ k Q ⟨ X ( X 2 + j 2 + z 2 ) 3 2 , j ( X 2 + j 2 + z 2 ) 3 2 , z ( X 2 + j 2 + z 2 ) 3 2 ⟩ = − 3 ( X 2 + j 2 + z 2 ) ( X 2 + j 2 + z 2 ) 5 2 + 3 ( X 2 + j 2 + z 2 ) 3 2 .

Dies kann weiter vereinfacht werden:

− 3 ( X 2 + j 2 + z 2 ) ( X 2 + j 2 + z 2 ) 5 2 + 3 ( X 2 + j 2 + z 2 ) 3 2 = 3 ( X 2 + j 2 + z 2 ) 3 2 − 3 ( X 2 + j 2 + z 2 ) 3 2 = 3 − 3 ( X 2 + j 2 + z 2 ) 3 2 .

Jetzt würde ich instinktiv sagen, dass 3-3 null ist und dann ist das While-Ding überall null. Ich bin verwirrt darüber, warum (rein mathematisch) dieser Ausdruck am Ursprung nicht gleich Null ist. Ich verstehe vollkommen, warum es physikalisch so sein muss. Und ich verstehe auch, dass es mit der Delta-Dirac-Funktion modelliert wird. Aber was (wieder mathematisch) hindert mich daran zu sagen, dass die Gleichung selbst am Ursprung nur Null ist?

Hinweis: Sie wenden die Ableitungsregeln an, wenn der Körper nicht definiert/singulär/nicht differenzierbar ist.
Ja! Sehr richtig. Danke schön. Daran hätte ich denken sollen.
Es ist nicht üblich, spitze Klammern zu verwenden, um Komponenten eines Vektors zu kennzeichnen. Verwenden Sie besser () oder [].
Ich habe die Angewohnheit der spitzen Klammern von Mathematikern übernommen.

Antworten (1)

Was Sie berechnen möchten, ist im Wesentlichen

∇ → X → | X → | 3
am Ursprung. Das gibt es natürlich nicht als Funktion, da das Feld singulär ist. Andererseits haben Sie bereits gezeigt, dass es überall sonst verschwindet.

Sie müssen also den Ausdruck im schwachen Sinne interpretieren, dh als Verteilung, und das Integral betrachten

∫ B ϵ ∇ → X → | X → | 3 D 3 X
über einem Volumen, das den Ursprung enthält, bequemerweise als Kugel mit Radius gewählt ϵ , konvertieren Sie es in ein Oberflächenintegral, das die Singularität nicht enthält, und sehen Sie, dass das Ergebnis endlich ist.

Sie haben hier einen Satz verwendet, nach dem ich Sie fragen möchte. Sie sagten: "Das existiert nicht als Funktion, da das Feld singulär ist." Ich habe (sehr zu meiner Bestürzung) abstrakte Algebra nicht studiert. Wenn Mathematiker den Begriff Vektorfeld verwenden, sprechen sie dann tatsächlich von einer Art Feld im AA-Sinne?
@Ben: Nein, ich verwende es im einfachen Sinne von "an jedem Punkt im Raum definierte Funktion": Das elektrische Feld weist jedem Punkt einen Vektor zu X , dh es ist eine Funktion einer Variablen X ∈ R 3 , und in diesem Fall ist die Funktion sigular und bei nicht differenzierbar X = 0 .
Divergenz des elektrischen Feldes aufgrund einer Punktladung [Duplikat]
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 1v