Was hast du vollkommen richtig gemacht

1) Das Gesetz schreibt das vor$\nabla\cdot E=\frac{1}{\epsilon 0}\rho$, aber wenn ich es direkt berechne, bekomme ich das$\nabla\cdot E=0$(Zumindest für$r\neq0$).

Eindrucksvoll! Sie sehen, wenn Sie dies anhand der abgeleitet haben$\vec E$Feld einer Coulomb-Punktladung also$\rho = 0$für$r \ne 0.$Sie stimmen also für alle Punkte zu, außer vielleicht für den Punkt bei Null.

Wo die Dinge anfangen, faul zu werden

2) Jetzt$\iiint\limits_\nu \nabla\cdot E d\tau$sollte null sein, egal wie groß der Wert der Divergenz bei 0 ist, da die Divergenz überall außer 0 null ist (im Gegensatz zum Gesetz, das besagt, dass sie nicht null ist).

Hier tritt das Problem auf. Die richtige Art, die Punktladung zu visualisieren, als a$\rho$, ist ein 3D-Dirac$\delta$-Funktion. Die 1D-Dirac-Delta-Funktion ist etwas, das sich verdächtig wie eine Funktion verhält$\delta(x) = 0, x\ne 0$die hat aber eine unendlich hohe spitze an$x=0$so dass für alle$\epsilon > 0$wir haben$\int_{-\epsilon}^{\epsilon}dx~\delta(x) = 1$. Es ist natürlich keine echte Funktion, aber Sie können es so behandeln, weil Sie einige echte Funktionen ersetzen können, wie z$\delta_s(x) = (2\pi s^2)^{-1/2} \exp[-x^2/(2s^2)],$und dann außerhalb des Integrals können Sie die Grenze als nehmen$s \rightarrow 0$endliche Lösungen zu erhalten, die sich genau so verhalten. Da die Gaußsche Funktion auch glatt ist, kann man sie sogar definieren$\delta'(x), \delta''(x),\dots$über$\delta_s'(x), \delta_s''(x),\dots$; Sie funktionieren so, wie Sie es erwarten würden, wenn Sie naiv eine Integration nach Teilen durchführen würden. Schließlich können Sie sie in einer Algebra von "Integraltransformationen" verstehen, die meistens definiert werden, indem eine reelle Funktion angegeben wird, die als "Kern" der Transformation fungiert. Der Dirak$\delta$-Funktion entsteht, indem eine Transformation hinzugefügt wird, die auf diese Weise nicht angegeben werden kann, aber dennoch äußerst wichtig ist: die Identitätstransformation. Gerade weil es befriedigt$\int_{-L}^{L} dx~\delta(x - x_0)~f(x) = f(x_0)$dass wir es zu unserer Transformationsliste hinzufügen; und in dieser Mathematik der "Verteilungen" haben Sie das zum Beispiel$[\delta(x)]^2 = 0.$

Auf 3D verallgemeinern und die erste Maxwell-Gleichung in den Griff bekommen

Da man sie nicht sinnvoll multiplizieren kann, sind die 3D$\delta$-Funktion muss stattdessen in sphärischen Koordinaten als anderer Grenzwert konstruiert werden:

$$\delta^3_s(r,\theta,\phi) = \frac{1}{2\pi r^2} \frac{1}{\sqrt{2\pi s^2}} ~ \exp\left[-\frac{r^2}{2s^2}\right]$$

Zur Berechnung der$\vec E$Feld für diese Ladungsverteilung benötigen Sie ein Ergebnis über$1/r^2$Kraftgesetze (man könnte es zB im Zusammenhang mit der Schwerkraft gesehen haben), die besagt, dass eine kugelförmige Hülle aus Masse besteht$M$hat im Durchschnitt kein Feld im Inneren, während es sich nach außen so verhält, als ob sich seine gesamte Masse in seinem Zentrum befindet. Das Feld auf jeder Kugeloberfläche wird also durch Berechnung der gesamten Ladung innerhalb dieser Kugel mit berechnet$\rho_{\text{point}} = q_0 ~ \delta^3_s(r,\theta,\phi).$Diese eingeschlossene Ladung bei Radius$R$Ist:

$$q_s(R) = \int_{r<R} dV ~ q_0~ \delta^3_s(r,\theta,\phi) = 2~q_0~ \int_0^R \frac{dr}{\sqrt{2\pi s^2}} ~ \exp\left[-\frac{r^2}{2s^2}\right].$$ Definieren $\chi(z) = \int_0^z \frac{dx}{\sqrt{2\pi}} \exp(-x^2/2)$das ist nur $$q_s(R) = 2~q_0~\chi(R/s).$$ Es ist ein Integral, das nicht in Form von elementaren Funktionen ausgedrückt werden kann, aber das wird uns nicht allzu sehr interessieren. Unser Rezept, dass das Feld nur durch die in der Sphäre eingeschlossene Ladung radiusbedingt ist $r$, alles tut so, als wäre es am Ursprung, bedeutet, dass die $\vec E$-Feld ist rein radial und ist $$\vec E = \frac{q_s(r)}{4\pi\epsilon_0 r^2}~\hat r.$$ Wenn wir dann die Formel für die Divergenz in Kugelkoordinaten nachschlagen, stellen wir fest, dass sie sich hier vereinfacht zu: $$\nabla\cdot\vec E = \frac{1}{r^2} \partial_r (r^2 E_r) = \frac{q_0}{4\pi\epsilon_0 r^2} ~ \frac{2}{s} ~\chi'(r/s) = \frac{q_0}{4\pi\epsilon_0 r^2} ~ \frac{2}{s} ~\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac{r^2}{2 s^2}\right]$$ Aber das ist natürlich nur: $$\nabla \cdot \vec E = \frac{q_0}{\epsilon_0} ~ \delta^3_s(r).$$ Jetzt können Sie sehen: für das "echte" 3D $\delta$-Funktion ist diese Divergenz gleich Null $r > 0$. Aber es enthält eine funky Divergenz bei Null, die die Punktladung codiert $q_0$befindet sich an dieser Stelle. Und wir können das sehen, weil alles, was wir geschrieben haben, genau ist! Also machen wir einfach $s$klein aber endlich, sagen wir, $10^{-100}\text{ m}$oder so: All diese Divergenzen passieren in diesem Raum, der viel, viel kleiner ist als alles, was uns wirklich wichtig ist, und dann kommen wir außerhalb dieses Raums $\nabla \cdot E = 0$.

Hüpfen, hüpfen, springen: QED.

Warum also, fragen Sie sich vielleicht, brauchten wir 3D ?$\delta$-Funktion überhaupt? Alles, was wir wirklich benutzt haben, ist sphärische Symmetrie und der fundamentale Satz der Infinitesimalrechnung! Die Antwort ist, dass wir jetzt einen Schritt vom allgemeinen Ergebnis entfernt sind . Die leistungsstarke Funktion des 3D$\delta$-Funktion ist das für jede stetige Funktion$\rho(\vec r) : \mathbb R^3\to\mathbb R$wir haben:

$$\rho(\vec r) = \int d^3r'~\delta^3(\vec r - \vec r') \rho(\vec r').$$ Wir erklären, dass wir das Superpositionsprinzip verwenden werden, um kleine Kräfte zusammenzufassen $\vec E = \int d\vec E(\vec r')$jeweils kostenpflichtig $dq_0 = \rho(\vec r')~d^3r'$an der Stelle sitzen $\vec r'.$

Wenn wir dieses Integral durchführen, sehen wir, dass wir uns mit dem Divergenzoperator austauschen können (es ist die Divergenz in Bezug auf$\vec r$, integrieren wir grundsätzlich über$\vec r'$), also haben wir:

$$\nabla\cdot\vec E = \int d^3r' ~ \rho(\vec r') \delta^3_s(\vec r - \vec r') / \epsilon_0.$$ Unter der Grenze als $s \rightarrow 0$wir bekommen einfach: $$\nabla\cdot\vec E = \rho(\vec r) / \epsilon_0.$$

Postmortem

3) ein. Der Beweis selbst fährt fort, den Divergenzsatz zu verwenden, um dies für jedes Volumen anzugeben$\nu$,$\iiint\limits_\nu \nabla\cdot E d\tau = \iint\limits_{\partial\nu} E d a$, aber der Divergenzsatz verlangt, dass E überall in stetig differenzierbar ist$\nu$(es ist bei 0 nicht differenzierbar, geschweige denn dort stetig differenzierbar).

B. Die Funktion kann bei 0 in keiner Weise korrigiert werden, da die Ableitung um 0 herum ins Unendliche geht.

C. Der Punkt 0 kann nicht aus dem integrierten Volumen entfernt werden, da der Divergenzsatz erfordert, dass das Integrationsvolumen kompakt ist.

D. Angesichts des ersteren sehe ich nicht, wie der Divergenzsatz hier verwendet werden kann.

Wir verwenden den Divergenzsatz, wenn$s$wird immer noch als endlich angenommen, also gibt es keine Unendlichkeiten und das Ergebnis ist genau das, was wir wollten. Dann erhalten wir das Ergebnis im Grenzwert als$s\to 0,$und dann interpretieren wir die resultierende Gleichung als allgemeingültig, weil sie (a) dem Superpositionsgesetz gehorcht und (b) das "richtige" Ergebnis für die Coulomb-Kraft wiedergibt, wenn wir setzen$\rho = q_0 \delta^3_{s'}(\vec r),$und nehmen Sie die Grenze als$s'\to 0$.

Wie in den Kommentaren erwähnt, treten Probleme auf, wenn Sie versuchen, eine Punktladung mithilfe einer Ladungsdichtefunktion zu beschreiben$\rho(r)$. Es gibt drei Möglichkeiten, dies zu umgehen:

1. Was ein Physiker vor dem 20. Jahrhundert getan hätte: Die Punktladung durch eine Kugel mit Radius ersetzen$R$und Gesamtladung$q$. Alles ist wohldefiniert, die Standardrechnung funktioniert einwandfrei, und Sie können die Grenze nehmen$R \rightarrow 0$am Ende, wenn Sie möchten.

2. Was Dirac (und die meisten modernen Physiker) tun würden: Alle Schwierigkeiten ignorieren und die Ladungsdichte als (dreidimensionale) Delta-Funktion behandeln $\delta(r)$, was hat$\delta(r) = 0$für alle$r \neq 0$Aber$\int \mathrm{d}^3r \, \delta(r) = 1$.

3. Was Mathematiker tun: Beschreiben Sie die Ladungsdichte mit einer Verteilung und nicht mit einer herkömmlichen Funktion. (Dies ist wirklich nur eine strengere Version von Option 2.)

Dies ist einer dieser Fälle, in denen Sie die mathematischen Feinheiten im Wesentlichen ignorieren können, denn wenn Sie alles streng angehen, entwickeln sich die Dinge mehr oder weniger so, wie Sie es erwartet haben. (Es gibt offensichtlich viele Beispiele, wo dies nicht der Fall ist, und scheinbar ärgerliche mathematische Details entpuppen sich als wichtige physikalische Feinheiten in Verkleidung.)