Woher wissen Sie, wann Sie Verteilungen verwenden müssen, um Ladungsdichten darzustellen? [geschlossen]

Ich habe versucht, ein Problem mit dem Gaußschen Gesetz auf folgende Weise zu lösen.

Nehmen wir an, wir haben eine Kugelschale mit Radius R mit einer Gebühr Q homogen auf seiner Oberfläche verteilt ist. Ich versuche das herauszufinden E -Feld, das von dieser Anordnung unter Verwendung des Gaußschen Gesetzes erzeugt wird.

Es scheint mir klar, dass für R < R , Die E -Feld muss gleich 0 sein. Jetzt für R > R , Man erhält

E ( R ) ⋅ 4 π R 2 = ∮ ∂ U R E D A = ∫ U R ∇ ⋅ E D v = ∫ U R ρ ϵ 0 D v
Aber in diesem Fall ρ = 0 überall außer auf ∂ U R , also bekommen wir
∫ U R ρ ϵ 0 D v = ∫ ∂ U R ρ ϵ 0 D v = 0
als Volumen von ∂ U ( R ) ist gleich 0. Dies war meine ursprüngliche, falsche Lösung.

Wenn ich den Hinweis in den Kommentaren richtig verstanden habe, sollte die Ladungsdichte die folgende Form haben

ρ ( R ) = δ ( R − R ) ⋅ Q 4 π R 2
Wo δ die Dirac-Delta-Verteilung ist, und dass dies mir erlauben wird, die korrekt zu berechnen E -Feld, nachgebend
E ( R ) = Q 4 ϵ 0 π R 2 , R > R

All das führt mich zu folgender Frage: Woran erkennt man überhaupt, dass man statt gewöhnlicher Funktionen Distributionen verwenden sollte?

Müssen Sie bei der Betrachtung der Fläche nicht über eine Fläche integrieren ∂ U R ?
Dies wird wahrscheinlich geschlossen, weil es sich um eine inakzeptabel gestaltete "Hausaufgaben-ähnliche" Frage handelt. Es ist auch eine "überprüfe meine Arbeit"-Frage, die normalerweise abgelehnt wird. Leider bin ich mir nicht sicher, was ich vorschlagen soll.
@DanielSank, das ist kein Hausaufgabenproblem, es ist eine Frage, die mir in den Sinn kam, als ich in meinem Lehrbuch über das Gaußsche Gesetz las, und warum ist es inakzeptabel gestaltet? Ich denke auch nicht, dass es als "meine Arbeit überprüfen" qualifiziert werden kann, da der neue Fokus der Frage darauf liegt, zu erklären, warum plötzlich die Notwendigkeit entsteht, mit Distributionen zu arbeiten, und wie man diese Notwendigkeit im Allgemeinen erkennt.
Ob das Problem tatsächlich von einer Hausaufgabe herrührt, hat eigentlich nichts mit den „hausaufgabenähnlichen“ Betrachtungen auf dieser Seite zu tun. Es ist ein lächerlicher Begriffsmissbrauch, der sich leider so schnell nicht ändern wird. Was hier „hausaufgabenartig“ genannt wird, bedeutet lediglich, dass Sie um Hilfe bei der Lösung eines bestimmten Problems bitten. Unabhängig davon, ob ich damit einverstanden bin oder nicht, steht diese Frage kurz davor, geschlossen zu werden, und meistens handelt es sich um eine falsch formulierte "Hausaufgaben-ähnliche" Frage. Wieder nicht meine Entscheidung.
Diese Annäherung ist nur eine mathematische, ähnlich wie zwei Körper, die unendlich voneinander getrennt sind, und Sie haben es vielleicht nicht bemerkt, aber solche mathematischen Annäherungen gibt es überall in der Physik. Was Sie haben, ist eine Theorie, dh die Maxwell-Gleichungen. Wenn Sie nun diese Theorie verwenden, um bestimmte Dinge zu berechnen, stellt sich heraus, dass diese Berechnungen normalerweise schwer auszuwerten sind, da sie komplexe Integrale usw. beinhalten können. Also wenden wir uns Grenzfällen zu, die viel einfacher auszuwerten sind. Offensichtlich gelten Maxwell-Gleichungen für die reale Welt, und eine streng 2D-Oberfläche ist in der realen Welt AFAIK nicht vorhanden
Maxwell-Gleichungen geben Ihnen streng genommen immer die falsche Antwort auf die 2D-Oberfläche. Aber wenn Sie den Grenzwert auswerten, dh wohin diese Funktion tatsächlich tendiert, können Sie eine Zahl herausbekommen. Nun, diese Zahl ist manchmal die einzige Lösung, die wir haben kann ausbrechen. Daher verwenden wir es ungefähr, um die Theorie zu validieren, da die Fähigkeit, Physik anzuwenden, auch von Ihren Fähigkeiten abhängt, Differentialgleichungen zu lösen. Ich hoffe, dies hilft, wenn Sie Dinge wie Punktladung, Linienladung usw. sehen. Diese Annäherungen sind vorhanden überall, sogar in der höheren Physik. Machen Sie diese zu Ihren Freunden, da sie Ihnen in der Not helfen :)
Ich denke, die Frage in der Bearbeitung ist eigentlich eine gute: Woran erkennen Sie, dass Sie Distributionen verwenden müssen? Ich habe die Frage bearbeitet, um diesen Aspekt hervorzuheben. (Natürlich hätte ich ohne das meine enge Stimme hinzugefügt.) Ich habe auch jetzt veraltete Kommentare gelöscht, die vor der vorherigen Bearbeitung gepostet wurden.

Antworten (1)

Die Verwendung von Verteilungen ist ein Trick , der immer dann verwendet wird, wenn es um Systeme geht, die nicht die erforderlichen Glattheits- und Integrierbarkeitsbedingungen aufweisen, und ist im Allgemeinen nur eine mathematische Technik, um diese Probleme dennoch zu lösen.

Maxwell-Gleichungen erfordern zunächst, dass beide Seiten (zumindest einige Male) differenzierbar und integrierbar sind, und wenn Sie das Gauß-Gesetz verwenden, akzeptieren Sie implizit alle damit verbundenen Hypothesen und Anforderungen. Darunter gewisse Integrierbarkeiten und Randbedingungen hier und da.

Eine Ladungsverteilung zu haben, die immer Null ist, außer plötzlich auf einer Menge von Nullmaßen (der Grenze), ist tatsächlich eine der Bedingungen, die die Anforderungen nicht erfüllen; auch in der natur werden die dinge nie plötzlich null, sondern sie tun es so glatt. Hier besteht der mathematische Trick darin, dass das Dirac-Delta die nette Eigenschaft hat, nach dem Integrieren glatte Funktionen zurückzugeben, und somit das Problem verbirgt. Der richtige Umgang mit solchen Übungen besteht darin, den Definitionsbereich der Maxwell-Gleichungen auf den dualen Satz von Funktionen (dh die Verteilungen) zu erweitern und so weniger strenge Differenzierbarkeitsbedingungen zuzulassen, um formale Manipulationen mit Dirac-Deltas usw. zu ermöglichen . Aber es sei denn, Sie besuchen Kurse in algebraischer Quantenfeldtheorie für Mathematiker,

perfekt . +1 ;]
Woher wissen Sie, wann Sie Verteilungen verwenden müssen, um Ladungsdichten darzustellen? [geschlossen]
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v