Gibt es eine "strengere" Herleitung der elektrostatischen Randbedingungen?

Heute denke ich, dass ich die Frage selbst beantworten kann, und in Anbetracht des erneuten Interesses daran werde ich dies tun. Sollte sich etwas als falsch herausstellen, sind Kommentare willkommen.

Der Grund für die Frage ist, dass Griffiths ungenau war, er gab die Idee des Beweises an, aber nicht die Details der mathematischen Strenge. Lassen Sie uns zuerst genauer sagen, was das Ergebnis ist, das wir beweisen wollen:

Satz: Sei$\mathbf{E}$ein elektrostatisches Feld sein, also insbesondere dem Gaußschen Gesetz in integraler Form gehorchen. Lassen$S\subset \mathbb{R}^3$sei eine geladene Fläche mit Oberflächenladung$\sigma : S\to \mathbb{R}$und mit normal$\mathbf{n}_0 : S\to T\mathbb{R}^3$. Dann wenn$p\in S$es hält

$$\lim_{\epsilon\to 0}\mathbf{E}(p+\epsilon \mathbf{n}_0(p))\cdot \mathbf{n}_0(p)-\mathbf{E}(p-\epsilon \mathbf{n}_0(p))\cdot\mathbf{n}_0(p)=\dfrac{\sigma(p)}{\epsilon_0}.$$

Wir werden dies anhand von Griffiths Idee zeigen, aber die Details ausfüllen. Lassen Sie uns zuerst die "hauchdünne Gaußsche Pillendose" konstruieren und das Gaußsche Gesetz anwenden.

Nehmen$p\in S$ein Punkt auf der Oberfläche. Lassen$\mathbf{n}_0 : S\to T\mathbb{R}^3$sei das normale Vektorfeld der Oberfläche. Dann lass$U\subset S$offen enthaltend sein$p$, und betrachten Sie die folgende Menge von Punkten$\mathbb{R}^3$

$$\mathcal{D}_U(\epsilon)=\{q\in \mathbb{R}^3 : q = q_0 + \lambda \mathbf{n}(q_0),\quad q_0\in U,\lambda \in [-\epsilon,\epsilon]\}$$

Mit anderen Worten: Wählen Sie eine Nachbarschaft aus$p$an der Oberfläche. Nehmen Sie jeden Punkt der Nachbarschaft und "gehen Sie aus$S$von ihm" in beide Richtungen. Dies ist die "Gaußsche Pillendose".

Definiere auch$\mathcal{D}_U^\lambda(\epsilon)$die Teilmenge von sein$\mathcal{D}_U(\epsilon)$entsprechend einem bestimmten$\lambda\in [-\epsilon,\epsilon]$. Es sollte klar sein, dass der Bereich erfüllt$A(\mathcal{D}_U^\lambda(\epsilon))=A(U)$.

Jetzt,$\mathcal{D}_U(\epsilon)$ist ein dreidimensionales Volumen mit einer Grenze$\partial \mathcal{D}_U(\epsilon)$. Lassen Sie uns seine Grenze analysieren. Durch die Konstruktion kann seine Grenze in drei Teile geteilt werden

$$\partial \mathcal{D}_U(\epsilon)= \mathcal{D}_U^\epsilon(\epsilon)\cup \mathcal{D}_U^{-\epsilon}(\epsilon)\cup \mathcal{W}_U(\epsilon)$$

der erste und der zweite Term sind jeweils der obere und der untere Deckel und der dritte,$\mathcal{W}_U(\epsilon)$ist die Wand, die durch Auswählen der Begrenzungslinie gebildet wird$U$und es gerade nach oben und unten bewegen. Die Wand hat Fläche$A(\mathcal{W}_U(\epsilon))=2\ell\epsilon$, Wo$\ell$ist die Länge der Kurvenbegrenzung$U$.

Bringen Sie diese zusammen und erinnern Sie sich an die einzige Ladung darin$\mathcal{D}_U(\epsilon)$ist das von der Oberfläche, das Gaußsche Gesetz

$$\int_{\partial \mathcal{D}_U(\epsilon)} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\dfrac{1}{\epsilon_0}\int_{U} \sigma dA$$

kann neu gefasst werden als

$$\int_{\partial \mathcal{D}_U^\epsilon(\epsilon)}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}+\int_{\partial \mathcal{D}_U^{-\epsilon}(\epsilon)} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} + \int_{\mathcal{W}_U(\epsilon)}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\dfrac{1}{\epsilon_0}\int_U \sigma dA.$$

Nun wenden wir den Mittelwertsatz für Integrale auf beiden Seiten an. Dies ergibt$p^\pm \in \mathcal{D}_U^{\pm \epsilon}(\epsilon)$auf den oberen/unteren Deckeln,$q\in \mathcal{W}_U(\epsilon)$Und$p'\in U$so dass die Gleichung wird

$$\mathbf{E}(p^+)\cdot \mathbf{n}_0(p^+) A(\mathcal{D}_U^{\epsilon}(\epsilon))-\mathbf{E}(p^-)\cdot \mathbf{n}_0(p^-) A(\mathcal{D}_U^{-\epsilon}(\epsilon))+\mathbf{E}(q)\cdot \mathbf{n}_W(q) A(\mathcal{W}_U^{\epsilon}(\epsilon))=\dfrac{\sigma(p')}{\epsilon_0}A(U).$$

wo wir verwendet haben, dass die Normalen von$\mathcal{D}_U^{\pm \epsilon}(\epsilon)$sind nur$\mathbf{n}_0$kopiert, und mit Richtung auf den unteren Deckel gedreht, und die Normale der Wand ist$\mathbf{n}_W$. Das Einfügen dessen, was wir über die Bereiche wissen, ergibt

$$\mathbf{E}(p^+)\cdot \mathbf{n}_0(p^+) A(U)-\mathbf{E}(p^-)\cdot \mathbf{n}_0(p^-) A(U)+\mathbf{E}(q)\cdot \mathbf{n}_W(q) 2\ell \epsilon =\dfrac{\sigma(p')}{\epsilon_0}A(U).$$

Endlich nehmen$\epsilon\to 0$Erträge

$$\lim_{\epsilon \to 0} \mathbf{E}(p^+)\cdot \mathbf{n}_0(p^+) -\mathbf{E}(p^-)\cdot \mathbf{n}_0(p^-) =\dfrac{\sigma(p')}{\epsilon_0}.$$

Jetzt merke das seit$p^{\pm} \in \mathcal{D}^{\pm \epsilon}_U(\epsilon)$es muss sein$p^+ = p_0 + \epsilon \mathbf{n}_0(p_0)$Und$p^- = p_0' - \epsilon \mathbf{n}_0(p_0')$. Dies wiederum ergibt ein Ergebnis

$$\lim_{\epsilon \to 0} \mathbf{E}(p_0 + \epsilon \mathbf{n}_0(p_0))\cdot \mathbf{n}_0(p_0) -\mathbf{E}(p_0' - \epsilon \mathbf{n}_0(p_0'))\cdot \mathbf{n}_0(p_0') =\dfrac{\sigma(p')}{\epsilon_0}.$$

Bis jetzt sind wir gegangen$U$willkürlich und gilt daher für jeden solchen$U$. Überlegen Sie jetzt$U = B(p,1/n) \cap S$die offene Kugel in der Mitte$p$des Radius$1/n$. Die Ergebnisse hängen davon ab$n$Natürlich. So werden wir haben$p_0 = x_n$,$p_0' = y_n$Und$p' = z_n$. Die Gleichung wird dann

$$\lim_{\epsilon \to 0} \mathbf{E}(x_n + \epsilon \mathbf{n}_0(p_0))\cdot \mathbf{n}_0(x_n) -\mathbf{E}(y_n - \epsilon \mathbf{n}_0(y_n))\cdot \mathbf{n}_0(y_n) =\dfrac{\sigma(z_n)}{\epsilon_0}.$$

Endlich nehmen$n\to \infty$schrumpft auf$p$. Seit$x_n,y_n,z_n\in B(p,1/n)$diese Sequenzen konvergieren alle zu$p$. Unter der Annahme, dass alles glatt ist, um die Grenzen austauschen zu können, erhalten wir das Ergebnis

$$\lim_{\epsilon \to 0} \mathbf{E}(p + \epsilon \mathbf{n}_0(p))\cdot \mathbf{n}_0(p) -\mathbf{E}(p- \epsilon \mathbf{n}_0(p))\cdot \mathbf{n}_0(p) =\dfrac{\sigma(p)}{\epsilon_0},$$

wie wir beweisen wollten.