Randbedingungen des Dauerstroms

Die erste Gleichung

$$\vec{\nabla}\cdot \vec{J}(\vec{r})=0 \tag 1$$ aufgrund des Satzes von Gauß ist äquivalent zu $$\int_{\partial S} \vec J(\vec r)d\vec a=0 \tag 2$$ Das bedeutet, dass im Volumen keine zeitliche Ladungsänderung enthalten ist. Die Ableitung der normalen Stromdichte-Randbedingung folgt dem gleichen Weg wie die für die elektrischen Feld-Randbedingungen für die normale Komponente der dielektrischen Verschiebung $\vec D$.

Die Kontinuität der Normalkomponente der stationären Stromdichte erhält man mit Gl. (2) mit einer Gaußschen Pillbox-Oberfläche, die die Grenzfläche der Medien umschließt und die Pillbox-Höhe auf Null gehen lässt. Im stationären Fall erfolgt keine zeitliche Änderung einer möglichen Schnittstellenladung. Dies ergibt

$$\vec{J}(\vec{r})_{1n}=\vec{J}(\vec{r})_{2n} \tag 3$$ Die Kontinuität der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes folgt aus $\nabla \times \vec E=0$und somit $\oint \vec{E}(\vec{r}) d\vec{r}=0$und ein geschlossener rechteckiger Integrationspfad an der Schnittstelle, der nachgibt $$E(\vec{r})_{1t}=E(\vec{r})_{2t} \tag 4$$