Randbedingungen in der Magnetostatik - Berechnung der Oberflächenstromdichte

Question

Randbedingungen in der Magnetostatik - Berechnung der Oberflächenstromdichte

LAPEMAG

Ich arbeite an einer Finite-Elemente-Simulation des magnetostatischen magnetischen Vektorpotentials in 3D mit der folgenden Geometrie: .

Die interne Struktur ist eine rechteckige Stromschleife mit Hohlkern. Das äußere Kästchen ist der räumliche Bereich, der auf ungefähr das 10-fache der charakteristischen Längenskala des Problems eingestellt ist. Infolgedessen erwarte ich, dass der magnetische Fluss vollständig in dieser Box enthalten ist. Meine zu lösende Gleichung ist die Vektor-Poisson-Gleichung in 3D:

\nabla^{2} \vec{A} = - μ \vec{J}

$\nabla^2\vec A=-\mu\vec J$

Meine Frage bezieht sich dann auf die Randbedingungen an den Gesichtern. Für die Flächen 11-16 (der äußere Kasten) wähle ich Dirichlet-Nullbedingungen, die der erwähnten flussumschlossenen Näherung entsprechen.

Gesichter 1-10, dh die Gesichter meiner Spule, bei denen ich mir nicht sicher bin. Unter der Annahme, dass A nicht divergent ist, erwarte ich, dass das magnetische Vektorpotential über die Grenze hinweg kontinuierlich ist, aber ich erwarte auch, dass die normale Ableitung von A durch die Oberflächenstromdichte K diskontinuierlich ist (DJ Griffiths (1999), "Introduction to Electrodynamics", Upper Saddle River, NJ, Prentice Hall). Dies entspricht einer tangentialen Diskontinuität im magnetischen Fluss aufgrund von etwas K . Beim Durcharbeiten der Literatur ist mir jedoch aufgefallen, dass viele Artikel diese Komponente zu ignorieren scheinen und einfach verlangen, dass A kontinuierlich ist, z.

N. Demerdash, T. Nehl and F. Fouad, "Finite element formulation and analysis of three dimensional magnetic field problems," in IEEE Transactions on Magnetics, vol. 16, no. 5, pp. 1092-1094, September 1980. doi: 10.1109/TMAG.1980.1060817

N. A. Demerdash, F. A. Fouad, T. W. Nehl and O. A. Mohammed, "Three Dimensional Finite Element Vector Potential Formulation of Magnetic Fields in Electrical Apparatus," in IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-100, no. 8, pp. 4104-4111, Aug. 1981. doi: 10.1109/TPAS.1981.317005

Der Teil, bei dem ich mir nicht sicher bin, ist, wie man die Oberflächenstromdichte findet (vorausgesetzt, dies ist wichtig). Ich weiß, dass für meine Spule mit rechteckigem Querschnitt mit Wicklungshöhe z , innerer Länge L_i , äußerer Länge L_o mit N Windungen, die einen Strom I führen , die durchschnittliche Stromdichte durch einen Wicklungsabschnitt ist: $j_{0} = \frac{IN}{z(L_{o} - L_{i})/2}$ .

Ich weiß auch, dass die Oberflächenstromdichte wahrscheinlich auch mit meinen Gesichtern in Übereinstimmung mit den Geometrien variiert.

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hyportnex · Answer 1

Allgemein lassen sich die Randbedingungen für das Vektorpotential aus der Definitionsgleichung ableiten

\begin{aligned} (1) & C u R l H & = J \\ (2) & D ich v B & = 0 \\ (3) & B & = μ H \\ (4) & B & = C u R l A \\ (5) & D ich v A & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{curl}\mathbf{H} &= \mathbf{J} \tag{1} \label{1}\\ \mathrm{div}\mathbf{B} &= 0 \tag{2}\label{2} \\ \mathbf{B}&=\mu\mathbf{H} \tag{3} \label{3}\\ \mathbf{B}&=\mathrm{curl}\mathbf{A} \tag{4} \label{4}\\ \mathrm{div}\mathbf{A} &= 0 \tag{5}\label{5} \\ \end{align}$ Hier

(1), (2)

$\eqref{1},\eqref{2}$ sind die statischen Maxwell-Gleichungen,

(3)

$\eqref{3}$ nimmt an, dass das Material keine Hysterese hat; Gleichung

(4)

$\eqref{4}$ löst

(2)

$\eqref{2}$ ,und schlussendlich

(5)

$\eqref{5}$ ist die Coulomb-Eichung, die die unvermeidliche Willkür des Vektorpotentials festlegt

(4)

$\eqref{4}$ .

Die Randbedingungen zwischen zwei Materialien indiziert durch $1$ Und $2$ kann nun unter Verwendung des Vektorpotentials in Gleichungen abgeleitet werden $\eqref{1}, \eqref{3}$ das ist:

\begin{aligned} (6) & C u R l (μ^{- 1} C u R l A) & = J \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{curl}(\mu^{-1}\mathbf{\mathrm{curl}\mathbf{A}}) &= \mathbf{J} \tag{6} \label{6}\\ \end{align}$ Aus

d i v A = 0

$\mathrm{div}\mathbf{A} = 0$ und das Vektorpotential hat eine Endlichkeit

c u r l

$\mathrm{curl}$ überall muss auch das Vektorpotential überall stetig sein , auch an einer unstetigen Grenzfläche, also an der Grenzfläche

\begin{matrix} (7) & A_{1} = A_{2} \end{matrix}

$\mathbf{A}_1=\mathbf{A}_2 \tag{7}\label{7}$

Als nächstes verwenden $\eqref{6}$ In Bereichen, in denen die freie Stromdichte Null ist, beispielsweise innerhalb und auf der Oberfläche des Ferrits und direkt außerhalb davon, erhalten Sie die Tangentialkomponente des $H$ Feld ist stetig, das heißt $H_t^1=H_t^2$ oder gleichwertig $\mathbf{n}\times \mathbf{H}_1=\mathbf{n}\times \mathbf{H}_2$ Wo $\mathbf{n}$ ist die lokale Normale an der Diskontinuität. Wenn dies in Bezug auf das Vektorpotential geschrieben wird, ergibt dies

\begin{matrix} (8) & \frac{1}{μ_{1}} N \times {C u R l A}_{1} = \frac{1}{μ_{2}} N \times {C u R l A}_{2} \end{matrix}

$\frac{1}{\mu_1}\mathbf{n}\times\mathbf{\mathrm{curl}\mathbf{A}}_1=\frac{1}{\mu_2}\mathbf{n}\times\mathbf{\mathrm{curl}\mathbf{A}}_2 \tag{8}\label{8}$

Und schließlich ist das Messgerät selbst kontinuierlich. Also innerhalb des magnetischen Materials, das wir haben

\begin{matrix} (9) & D ich v G R A D A = 0 \end{matrix}

$\mathrm{\mathbf{div}}\mathrm{\mathbf{grad}}\mathbf{A}=0 \tag{9}\label{9}$ woraus folgt, dass an der Schnittstelle

\begin{matrix} (10) & N \cdot G R A D (N \cdot A_{1}) = N \cdot G R A D (N \cdot A_{2}) \end{matrix}

$\mathbf{n}\cdot\mathrm{grad}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{A}_1) = \mathbf{n}\cdot\mathrm{grad}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{A}_2) \tag{10}\label{10}$

Zusammenfassend: Die Randbedingungen für das Vektorpotential an einer Materialgrenzfläche mit diskontinuierlicher Permeabilität sind $\eqref{7}, \eqref{8}, \eqref{10}$

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