Kann das Kreisgesetz von Ampere auf eine unendliche Anzahl abwechselnder Helmholtz-Spulen angewendet werden?

Ich habe die folgende Oberflächenstromdichte

σ ¯ S = ϕ ^ Sünde ⁡ ( k z ) | σ ¯ S |
um eine unendliche Anzahl abwechselnder Helmholtz-Spulen anzunähern, die entlang der z-Achse mit Radien von gestapelt sind R . Ich möchte überprüfen, ob das Magnetfeld außerhalb der Spulen Null ist? Ich bin mir nicht sicher, ob in dieser Situation das Stromkreisgesetz von Ampere gilt, da der Strom das Vorzeichen ändert, wenn er entlang der z-Achse verschoben wird. Es könnte möglich sein, dass das Magnetfeld Null ist, aber ich weiß nicht, wie ich das beweisen kann. Ich habe versucht, das Magnetfeld mit der Grenzflächenbedingung zu berechnen ρ ^ × B ¯ = σ ¯ S , Wo ρ ^ ist die Flächennormale der Zylinderfläche. Ich habe zwei mögliche Lösungen für das Magnetfeld
B ¯ = ϕ ^ × ∇ ¯ Φ 1 + ∇ ¯ Φ 0
Wo
Φ 0 = A cos ⁡ ( k z ) K 0 ( k ρ ) Φ 1 = B Sünde ⁡ ( k z ) K 1 ( k ρ )
Und K 0 ( X ) Und K 1 ( X ) sind die exponentiell abfallenden modifizierten Bessel-Funktionen. Beide liefern Oberflächenströme ungleich Null
ρ ^ × B ¯ = ρ ^ × ( ϕ ^ × ∇ ¯ Φ 1 ) + ρ ^ × ∇ ¯ Φ 0 = ϕ ^ ( ρ ^ ⋅ ∇ ¯ Φ 1 ) + ρ ^ × ∇ ¯ Φ 0 = ϕ ^ ∂ Φ 1 ∂ ρ − ϕ ^ ∂ Φ 0 ∂ z
und beide befriedigen ∇ ¯ × B ¯ = 0 Und ∇ ¯ ⋅ B ¯ = 0 . Sollte ich stattdessen das Stromkreisgesetz von Ampere verwenden?

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@KyleKanos Ich habe Korrekturen am Beitrag vorgenommen, um zum Thema zu gehören. Danke.

Antworten (1)

Einerseits können Sie ohne geeignete Randbedingungen nicht nach dem Magnetfeld auflösen (z. B. es könnte immer eine elektromagnetische Welle eintreffen, die Ihren Zylinder noch nicht getroffen hat). Wenn Sie andererseits eine feste Ladungs- und Stromverteilung haben, können Sie immer die Jefimenko-Gleichungen verwenden, um eine Lösung für die Maxwell-Gleichungen zu finden, und es werden vollkommen feine (physikalische) Strahlungsrandbedingungen vorliegen.

In Ihrem speziellen Fall sind Ihre Ströme konstant und Ihre Ladungsdichte ist Null, sodass sich die Gleichungen von Jefimenko für das elektrische Feld auf Null reduzieren und Sie nur das Gesetz von Biot-Savart für das Magnetfeld erhalten. Was ein Magnetfeld ungleich Null in der Ebene ergibt z = π / ( 2 k ) zum Beispiel. Ihr Magnetfeld ist also nicht überall gleich Null.

Ob das Amperesche Gesetz verwendet werden soll, kann verwendet werden, aber zum Beispiel müssen Sie ziemlich genau wissen, dass Sie die Richtung Ihres Magnetfelds kennen müssen. Aber wieder im Flugzeug z = π / ( 2 k ) Wir kennen die Magnetfeldpunkte in Richtung -z außerhalb der Spulen und in Richtung +z in der Mitte. Und das sagt uns dann das Amperesche Gesetz B C e N T e R + B Ö u T S ich D e = μ 0 | σ S | Sünde ⁡ π / 2. Und so kommt es darauf an, das Magnetfeld im Zentrum der Spulen in der Ebene bei zu finden z = π / ( 2 k ) . Für diesen Teil gibt es mit Ampere keine einfache Abkürzung. Aber es ist kein besonders schwieriges Problem für Biot-Savart.

Ich habe die verwendet z = π / ( 2 k ) Flugzeug, weil es der einfachste Ort war, um zu zeigen, dass das Magnetfeld nicht Null ist, und um zu zeigen, wie Sie Jefimenko, Ampere und Biot-Savart verwenden können, um das Problem zu lösen. Die Verwendung von Ampere ist optional und bezieht sich im Grunde genommen auf den eingeschlossenen Strom, es ist nicht wirklich viel anders als zu sagen ∇ → × B → = 0 → innen und außen und mit den Sprungbedingungen, die sich auf den Oberflächenstrom beziehen. Es sieht so aus, als ob das Magnetfeld in diesen beiden Regionen in der Ebene gleichmäßig ist z = π / ( 2 k ) Ihre beiden Lösungsvorschläge sehen also auf den ersten Blick mangelhaft aus.

Aber vielleicht haben Sie vernachlässigt, dass konstante Funktionen auch Lösungen für sind ∇ → × B → = 0 → Und ∇ → ⋅ B → = 0 ?

Danke für die Antwort. Ich arbeite noch an dem Problem. Ich bin sehr überrascht, dass das Magnetfeld entlang gleich beabstandeter Ebenen mit festem z gleichförmig ist. Ich glaubte ehrlich, dass die Wicklungen sich gegenseitig bekämpfen und das äußere Magnetfeld stark verringern würden.
@linuxfreebird Wie sehr sie sich bekämpfen, hängt vom numerischen Wert von kR ab.
Ich gehe davon aus, dass die Magnetfeldlösung in Bezug auf trennbar sein wird z Und ρ , das kann nicht stimmen.
Ich glaube, ich habe das Problem herausgefunden. Ich habe vergessen, die Randbedingung anzugeben ρ ^ ⋅ ( B ¯ 1 − B ¯ 2 ) = 0 . Meine ursprüngliche Lösung war mit magnetischen Monopolladungen ausgekleidet, die zu einem nicht verschwindenden Magnetfeld führten. Hoppla.
Ich entschuldige mich. Als ich nicht verschwindendes Feld sagte, meinte ich in der Grenze als k geht auf null. Ich denke, Ihre Lösung ist gültig.
Kann das Kreisgesetz von Ampere auf eine unendliche Anzahl abwechselnder Helmholtz-Spulen angewendet werden?
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