Was misst eigentlich ein Voltmeter?

Ein typisches Voltmeter enthält einen internen ohmschen Widerstand mit bekanntem und sehr hohem Widerstand$R$(als "Eingangswiderstand" oder "Eingangsimpedanz" bezeichnet) und ein extrem empfindliches Amperemeter, das den Strom durch diesen Widerstand misst. Wenn das Voltmeter über einige Schaltungselemente parallel geschaltet ist, dann hat der Innenwiderstand idealerweise einen so viel höheren Widerstand als alle Schaltungselemente, an denen die Spannung gemessen wird, dass er als nahezu perfekter Isolator fungiert, und die überwiegende Mehrheit davon der Strom (falls vorhanden) fließt über die zu messenden Schaltungselemente. Das Voltmeter misst den winzigen Strom$I$das geht durch seinen internen Widerstand und zeigt dann die Spannung an$V = IR$. Abgesehen von Kalibrierungsfehler in$R$und direkter Messfehler des Stroms wird der angezeigte Wert des Voltmeters falsch, wenn die zu messende Spannung so hoch ist, dass der Innenwiderstand nicht mehr ohmsch reagiert.

Es gibt ein nicht triviales Optimierungsproblem bei der Höhe des Eingangswiderstands des Voltmeters: Je höher er ist, desto weniger Strom fließt durch das Voltmeter, was es schwieriger macht, genau zu messen. Andererseits möchten Sie normalerweise nicht, dass ein nennenswerter Bruchteil des Gesamtstroms durch das Voltmeter fließt, da sonst das bloße Anschließen des Voltmeters an die Schaltung tatsächlich das Verhalten der Schaltung ändert, was normalerweise nicht erwünscht ist.

Wie Sie in Ihrer Frage angedeutet haben, ist es unmöglich zu messen$\Phi$generell - sogar im Prinzip - weil es sich um eine spurweitenabhängige Größe handelt. Ein echtes Voltmeter besteht typischerweise aus zwei Drähten (die gute Leiter sind), die mit dem Schaltungselement verbunden sind, mit dem eigentlichen Messgerät dazwischen. Idealisieren wir es der Einfachheit halber auf einen einzelnen Draht mit einheitlichem und bekanntem spezifischen Widerstand$\rho$, die den Strom messen kann$J$geht an jedem Punkt durch sich selbst hindurch. Dann ergibt das Ohmsche Gesetz das elektrische Feld$\vec{E} = \rho \vec{J}$, und so entspricht die angezeigte "Spannung" tatsächlich physikalisch$\int_a^b \vec{E} \cdot d\vec{l}$entlang des Drahtes, wie Sie vorgeschlagen haben. Nach dem Gesetz von Faraday induziert jedes zeitabhängige Magnetfeld einen elektrischen Strom, und daher ändert sich der Messwert, den das Voltmeter anzeigt, wenn die Drähte, die es mit dem Stromkreis verbinden, das sich ändernde Magnetfeld passieren. Wenn sich also Magnetfelder in der Nähe befinden, die sich im Laufe der Zeit erheblich ändern, hängt die Anzeige des Voltmeters von der genauen Position der Drähte ab, die es mit dem Stromkreis verbinden, und im Allgemeinen ist diese Größe nicht sehr nützlich.

(In einem realistischeren Modell eines Voltmeters, bei dem wir berücksichtigen, dass der Widerstand für den internen Widerstand viel, viel höher ist als für die externen Drähte, finden wir das$\vec{E}$ist normalerweise in den Drähten vernachlässigbar und über den Innenwiderstand ungefähr konstant, sodass der Messwert des Voltmeters im Grunde nur gleich ist$\vec{E} \cdot \vec{l}$, Wo$\vec{l}$ist die orientierte Länge des Innenwiderstands und$\vec{E}$ist das elektrische Feld an seinem Ort. Tatsächlich haben die meisten lokalen Sensoren für elektrische Felder das gleiche grundlegende Design wie Voltmeter: ein extrem empfindliches Amperemeter, das über einen ohmschen Widerstand mit bekannter Länge und bekanntem Eingangswiderstand misst. Aber in diesem Fall möchten Sie, dass der Eingangswiderstand wirklich hoch ist (normalerweise ca$10^4$multipliziert mit einem Voltmeter), um zu verhindern, dass Strom darüber fließt, da der resultierende Ladungsaufbau das externe Feld teilweise aufheben würde.)

Ein Voltmeter misst nicht$\Phi$(das elektrostatische Potential) noch die Differenz$\Phi_A - \Phi_B$Wo$A$Und$B$sind beliebige Punkte in einem Material. Es misst auch nicht$-\int \vec E \cdot d\vec l$.

Ein Voltmeter misst die Differenz des elektrochemischen Potentials zwischen Punkt$A$und Punkt$B$, dividiert durch die Elementarladung. Dies entspricht$\Delta V = -\int (\vec E +\nabla \mu/e) \cdot d\vec l$Wo$\mu$ist das chemische Potential.

In einigen Fällen kann es entsprechen$-\int \vec E \cdot d\vec l$, oder es kann ausschließlich gemessen werden$\mu/e$. Der allgemeine Fall ist eine Mischung aus beidem.

Ein Beispiel von Apertet et al. ist die eines pn-Übergangs im Gleichgewicht. In diesem Fall, obwohl ein eingebautes elektrostatisches Potential vorhanden ist$V_\text{in}$, ein Voltmeter würde eine Nullspannung anzeigen, weil$eV_\text{in}=\nabla \mu$und so$\tilde{\mu}=0$Wo$\tilde{\mu}$ist das elektrochemische Potential.

Referenzen: Solid State Physics von Ashcroft und Mermin (1976) Seite 257. Apertet et al. , Riess und diese Universitäts - Website .

Obwohl beide obigen Antworten gültige korrekte Fakten enthalten, fehlt bei beiden der ursprüngliche Punkt in der Frage. Der Op versuchte zu fragen, was im elektrodynamischen Fall passiert, wenn das Linienintegral des elektrischen Feldes wegabhängig ist.

In diesem Fall würde das Linienintegral für jede Trajektorie des elektrischen Feldes einen anderen Wert ergeben.

Oben wurde erwähnt (Walter-Lewins-Klassen wurden als Referenz verwendet), dass das Voltmeter am Ende das Linienintegral des elektrischen Felds (in diesem Fall das nichtkonservative elektrische Feld) messen würde.

Das ist richtig, aber es ist wichtig zu erwähnen, dass Walter Lewins Erklärung für die Spannung in einem Leitungselement ohne Volumen war. Im allgemeinen Fall eines Volumenelements misst das Voltmeter (zumindest das klassische, das auf einem Galvanometer basiert) eine mittlere Spannung um eine Querschnittsfläche senkrecht zu allen Stromlinien.

Stellen Sie sich vor, Sie haben zwei Querschnittsflächen in einem Widerstand. Dann würden Sie jedes Linienintegral von jedem Ursprungspunkt in der anfänglichen Querschnittsfläche berechnen, indem Sie den aktuellen Linien zur Landequerschnittsfläche folgen.

Es gibt ein Linienintegral für jeden Punkt in der anfänglichen Querschnittsfläche, Sie müssten alle Linienintegrale über die Querschnittsfläche mitteln, und das ist es, was Sie mit einem klassischen Voltmeter messen. Sie messen die durchschnittliche Arbeit pro Ladungseinheit, die in dem betrachteten Volumenelement geleistet wird, begrenzt durch die beiden Querschnittsflächen senkrecht zu den Stromlinien.