Wann man welche Darstellung für ein elektrisches Feld verwendet

Im Unterricht haben wir drei Arten von Möglichkeiten behandelt, das elektrische Feld für statische Probleme zu bewerten. Leider behandeln die meisten Physiklehrbücher diese Wege, ohne die Frage der Anwendbarkeit zu behandeln, wenn sie diese Gleichungen aus historischer Motivation einführen.

Eine Möglichkeit ist das Gesetz von Gauß:

∫ ∂ v ⟨ E , N ⟩ D S = ∫ v ρ ε 0 D X
Dies kann nur verwendet werden, wenn E durch geometrische Betrachtung nicht von den Variablen abhängt, von denen das Oberflächenintegral abhängt (wie bei der Kugelsymmetrie, wenn es nicht eine Funktion der Winkel, sondern nur des Radius ist), dann kann es verwendet werden, um das elektrische Feld durch a zu bestimmen geladene Kugel. Was wir dann erhalten können, ist ein elektrisches Feld auf der Oberfläche eines Volumens, das eine bestimmte Ladung enthält.

Dann haben wir:

E ( X ) = 1 4 π ε 0 ∫ R 3 ρ ( X ' ) ( X − X ' ) | | X − X ' | | 3 D X ' .

Dies ist allgemeiner in dem Sinne, dass es keine Symmetrie oder Reduktion auf Ladungen innerhalb eines bestimmten Volumens erfordert.

Und schließlich haben wir

Δ ϕ ( X ) = − ρ ( X ) ε 0 ,

Dies ist die allgemeinste Art, über elektrostatische Probleme nachzudenken, und enthält (unter der Annahme, dass die Lösung alle Randbedingungen erfüllt) alle Informationen.

Ich hoffe mein Verständnis war soweit richtig. In diesem Fall lautet meine Frage: Wie unterscheide ich Grenzwertprobleme von Problemen, bei denen die ersten beiden Gleichungen gelten?

Viele Probleme sind wie: Gegeben sei eine Kugel mit einer bestimmten Ladungsverteilung, berechne das Feld rundherum! Was bedeutet das, bedeutet das, dass ich mir das als einen Ball aus Ladungen vorstellen sollte, der sich im Vakuum ansammelt und das Material um ihn herum auch Vakuum ist? Denn wenn ich annehme, dass dies eine metallische Kugel ist oder eine Kugel, die aus einem Material besteht, das sich von dem Material (wahrscheinlich Varcuum) umgibt, dann würde dies mir eine Schnittstelle geben, was bedeutet, dass meine ersten beiden Gleichungen nicht mehr gelten, wie ich Randbedingungen bekommen würde. (Ich spreche jetzt in einem streng theoretischen Sinne darüber, vielleicht würden sie mir das richtige Ergebnis liefern, aber aus den falschen Gründen). Oder gelten diese beiden Gleichungen auch, wenn die Kugel ein Isolator ist?

@Mostafa wahrscheinlich, du könntest mir hier helfen. da Sie sich mit solchen Dingen gut auskennen. Meine Frage ist: Welchen realen Anwendungen entsprechen diese Gleichungen, wenn man das elektrische Feld bestimmen will.
Der Ausdruck auf der rechten Seite in der zweiten Formel steht für Potential ϕ , nicht für elektrisches Feld . In der dritten Formel sollte auf einer Seite der Gleichung ein Minus stehen.
Das Differential auf der rechten Seite der ersten und zweiten Gleichung ist D 3 X .
Die erste und die dritte Formel reichen einfach nicht aus, um das Feld zu finden. Die erste muss durch die Gleichung ergänzt werden ∇ × E = 0 und der dritte von E = − ∇ ϕ . Danach sind sie äquivalent und müssen noch durch Randbedingungen ergänzt werden.
@JánLalinský Wie können sie alle gleichwertig sein? Wie auxsvr darauf hingewiesen hat, brauchen wir zum Beispiel für das zweite, dass das Feld schnell abfällt.
@JánLalinský Was ich auch nicht sehe, ist diese Art von Übung: Berechnen Sie bei einer Ladungsverteilung das Feld! Bedingt dies, dass sich die Ladungsverteilung im gleichen Medium wie die Umgebung befindet?
Das Feld muss schnell abfallen, wenn die Gleichungen ∇ ⋅ E = ρ / ϵ 0 , ∇ × E = 0 eindeutige Lösung haben sollen. Dies ist jedoch nicht erforderlich, damit die zweite Formel zutrifft.

Antworten (2)

Die allgemeinste Gleichung der Elektrostatik ist das Coulomb-Feld einer Punktladung Q an Stelle X → ' im Vakuum,

E → ( X → ) = 1 4 π ϵ 0 Q ( X → − X → ' ) | X → − X → ' | 3 .
Dies ist eine experimentell abgeleitete Gleichung, wenn wir kleine Ladungen als Punktladungen betrachten. Ihre zweite Gleichung kann daraus abgeleitet werden, indem Sie das Prinzip der Superposition anwenden, also haben wir
E → ( X → ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ D ρ ( X → ' ) ( X → − X → ' ) | X → − X → ' | 3 D 3 X ' ,
mit D eine Region, die die betrachtete Ladungsverteilung enthält. Das Integral konvergiert, wenn D ist endlich, ρ ist beschränkt und der Integrand wird höchstens einmal unendlich, nach Kellogg, Foundations of potential theory . Bei unendlich D im Allgemeinen konvergiert das Integral nicht. Es gibt einige Verteilungen, die eine Konvergenz ermöglichen, wie z. B. die homogen geladene, unendliche Ebene oder der Draht; sie sind hochsymmetrisch.

Aus dem Coulomb-Integral, falls es konvergiert, Gaußsches Integralgesetz und ∇ → ⋅ X → − X → ' | X → − X → ' | 3 = 4 π δ ( X → − X → ' ) , erhalten wir die Gaußsche Differentialgleichung, eine der Maxwellschen Gleichungen,

∇ → ⋅ E → = ρ ϵ 0 .
Dies ist in gewissem Sinne auch eine allgemeine Gleichung, aber der Satz von Helmholtz besagt, dass bestimmte Bedingungen erfüllt sein müssen (lokalisierte Quellen), damit dies der Fall ist E → existieren und durch diese Gleichung eindeutig definiert sein (hier nehmen wir an ∇ → × E → = 0 , wir machen Elektrostatik). Die gleichen Bedingungen implizieren die Existenz des Potenzials der Verteilung, aber ∇ → × E → = 0 reicht zum ableiten E → = − ∇ → v ohne sie (es ist bemerkenswert, dass für eine homogen geladene, unendliche Ebene v divergiert, aber die vorherige Gleichung ergibt trotzdem das richtige Feld!).

Eine andere Möglichkeit, das Potenzial der Verteilung zu erhalten, besteht darin, die Poisson-Gleichung zu lösen ∇ 2 v = − ρ / ϵ 0 mit entsprechenden Randbedingungen. Dies scheint der vorherigen Ableitung aufgrund des Helmholtz-Theorems (der Bedingung des Hemholtz-Theorems) äquivalent zu sein lim | X → | → ∞ v ( X → ) = 0 ist Dirichlet BC für die Poisson-Gleichung.).

Eine andere Möglichkeit, das Coulombsche Gesetz abzuleiten, besteht darin, mit den Maxwell-Gleichungen zu beginnen und das Helmholtz-Theorem für lokalisierte Quellen anzuwenden, dh solche, bei denen das Feld schneller verschwindet als 1 / R als R geht zu ∞ . Diese Ableitung hat den Vorteil, dass beide Integrale immer konvergieren und den Nachteil, dass sie Ladungsverteilungen ausschließt, die sich erstrecken ∞ , die nicht physikalisch sind, aber verwendet werden, um wesentliche Eigenschaften komplizierterer Geometrien zu extrahieren. Eine Problemumgehung für diese Einschränkung besteht darin, eine Folge von lokalisierten Verteilungen zu berücksichtigen, die zu einem unendlichen Ausmaß tendieren.

Schließlich gelten diese Gleichungen immer noch in Gegenwart eines anderen Dielektrikums als Vakuum, aber zuvor müssen geeignete Annahmen getroffen werden. Wenn beispielsweise das Dielektrikum linear, isotrop und homogen ist, dann D → = ϵ E → und das Coulombsche Gesetz wird

E → ( X → ) = 1 4 π ϵ Q F ( X → − X → ' ) | X → − X → ' | 3 ,
Die Poisson-Gleichung wird ∇ 2 v = − ρ F / ϵ , etc. Wenn jedoch ∇ → × P → ≠ 0 → , was an der Grenze zwischen verschiedenen Dielektrika (diskontinuierlich) der Fall ist ϵ ), dann sollten die Maxwell-Gleichungen im Dielektrikum gelöst werden und es gibt kein Coulomb-Gesetz für D → das den gesamten Raum abdeckt, was ein weiterer Grund dafür ist, dass Maxwells Gleichungen stattdessen als grundlegend angesehen werden. Eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, dass eine Ladung innerhalb des Dielektrikums eine Polarisationsladung induziert, die den Prozess abhängig von der Grenze zwischen den Dielektrika nichtlinear macht, weshalb das Prinzip der Überlagerung nicht verwendet werden kann, um es zu finden D → im gesamten Raum. Somit sind die allgemeinsten Gleichungen in Gegenwart eines Dielektrikums das Gaußsche Gesetz und die Poissonsche Gleichung.

Allgemeine Referenzen: Griffiths, Elektrodynamik , Zangwill, Moderne Elektrodynamik , Jackson, Klassische Elektrodynamik .

Das ist ein guter Punkt (die Helmholtz-Bedingung), obwohl ich nicht sehe, warum die Verteilung begrenzt werden muss. So würde zB eine Ladungsverteilung aussehen ρ = A e − λ R sollte mit dem zweiten vollkommen in ordnung sein. Aber meine Frage war eher: Wenn Sie die Ladungsverteilung innerhalb eines Materials haben und die Ladungsverteilung außerhalb (im Vakuum) beschreiben wollen, bekommen Sie dann immer die richtige Antwort?
Wenn es nicht lokalisiert ist, divergiert das Integral. Das Exponential fällt schneller als jede Potenz, erfüllt also die Bedingung. Das Verhalten Ihrer Distribution als R → ∞ kann als Randbedingung für die Laplace-Gleichung betrachtet werden. Das Gaußsche Gesetz und die Laplace-Gleichung sind nach bestem Wissen und Gewissen gültig. Es kann einige Feinheiten geben, wenn es in Materie und in kleinen Maßstäben angewendet wird (siehe mikroskopische Maxwell-Gleichung). Auch das Feld im Inneren wird Materie D → = ϵ 0 E → + P → , somit ∇ → ⋅ D → = ρ für isotrope, lineare Materie.
Ja, und diese Feinheiten sind genau das, wonach ich suche. Ich meine, was Sie definitiv aus 2 allgemein berechnen können, ist das Feld in Übungen, in denen Sie aufgefordert werden, das elektrische Feld aus einer Ladungsverteilung zu berechnen (vorausgesetzt, diese fällt ausreichend schnell ab). Meine Frage ist: Zu welcher realen Anwendung gehört das? Bedeutet dies meines Erachtens, dass wir wollen, dass sich die Ladungen und ihre Umgebung im selben Medium befinden, oder gilt dies auch, wenn sich die Ladungen in Metall oder Holz befinden und die Umgebung Vakuum ist?
Das korrekte Gaußsche Gesetz in obiger Materie ist ∇ → ⋅ D → = ρ F . Die Annahme beim Integrieren nach dem Satz von Helmholtz lautet: ϵ überall konstant ist, daher dürfen wir es außerhalb des Integrals nehmen, daher gilt die zweite Gleichung nur in diesem Fall. Allgemein, ϵ ist ein Tensor.
"Die zweite Gleichung ist das Ergebnis des Helmholtz-Theorems für lokalisierte Quellen, dh solche, bei denen das Feld schneller als 1 / r auf 0 geht" (ich habe ∞ durch 0 ersetzt). Nicht unbedingt. Die zweite Gleichung ist eine Umschreibung des Coulomb-Gesetzes, das experimentell gefunden wurde. Mathematisch gilt es sogar für Felder, die mit der Entfernung überhaupt nicht abfallen, z. B. Feld einer unendlichen gleichmäßig geladenen Ebene (konstant) oder Feld eines unendlichen Drahts (fällt als 1 / r ab).
@JánLalinský Danke für die Korrektur des asymptotischen Ausdrucks. Das zweite Integral konvergiert wann ρ begrenzt ist, an einem Punkt maximal unendlich wird und der Integrationsbereich endlich ist (vgl. Kellogg, Foundations of potential theory ). Dass sie für den Fall einer unendlichen Ebene mit homogener Ladungsdichte konvergiert, ergibt sich aus der Symmetrie des Problems, weil eine beliebige σ ( X ' , j ' ) δ ( z ' ) konvergiert im Allgemeinen nicht , wenn der Definitionsbereich unendlich ist. Dass solche Verteilungen zu unregelmäßigen Ergebnissen führen, ist leicht einzusehen, da ihre Potenziale divergieren.

Ich hoffe mein Verständnis war soweit richtig. In diesem Fall lautet meine Frage: Wie unterscheide ich Grenzwertprobleme von Problemen, bei denen die ersten beiden Gleichungen gelten?

Im statischen Fall sind alle diese Formeln gleichzeitig gültig. Sie können verwenden, was Sie wollen. Basierend auf der Formulierung des Problems würde ich wählen, was am besten ist, um es zu lösen.

Welche Methode wofür am besten geeignet ist, finden Sie nach und nach durch Übungen und schwierigere Aufgabenstellungen in der Elektrostatik heraus.

nein, das kann nicht wahr sein. für viele Randwertprobleme wird es unmöglich sein, die ersten beiden zur Bestimmung des elektrischen Feldes zu verwenden.
Unmöglich ist ein starkes Wort. Viele Dinge wurden als unmöglich bezeichnet, aber schließlich wurden sie erreicht. In der Zwischenzeit ist es besser zu sagen, dass einige Formulierungen für einige Probleme besser geeignet sind. Wenn Sie sich fragen, ob es möglich ist, ein konkretes Problem mit einer bestimmten Formulierung zu lösen, können Sie dies als Frage stellen.
Ja, aber ich möchte verstehen, wann es möglich ist und wann nicht. Wenn Sie immer noch glauben, dass Sie mit allen obigen Gleichungen jedes Problem rund um ein elektrisches Feld in der Elektrostatik lösen können, können Sie gerne begründen, warum. Bisher sehe ich nicht, wie Sie das Problem der Randbedingungen in den ersten beiden Gleichungen beseitigen können, und eigentlich haben Sie diesen Punkt nicht wirklich angesprochen. Wenn Sie Ihre Meinung geändert haben und der Meinung sind, dass dies im Allgemeinen nicht möglich ist, sollten Sie Ihre Antwort wahrscheinlich löschen.
Wann man welche Darstellung für ein elektrisches Feld verwendet
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