Integrationskonstanten in Maxwell-Gleichungen (Mehrdeutigkeit?)

Question

Integrationskonstanten in Maxwell-Gleichungen (Mehrdeutigkeit?)

Physik
Integration
Elektromagnetismus
Maxwell-Gleichungen
Klassische Elektrodynamik

Socob

Wenn in der klassischen Elektrodynamik das elektrische Feld (oder das magnetische Feld, eines der beiden) vollständig bekannt ist (der Einfachheit halber: im Vakuum mit $\rho = 0, \vec{j} = 0$ ), ist es möglich, das andere Feld eindeutig aus den Maxwell-Gleichungen zu berechnen?

Nehmen wir zum Beispiel an, dass $\vec{E}(\vec{r}, t)$ ist bekannt mit $\vec{E} = 0$ . Aus den Maxwell-Gleichungen wissen wir das

\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial T} \Leftrightarrow \vec{B} = - \int \nabla \times \vec{E} D T

$\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{B} = - \int \nabla \times \vec{E} \; \mathrm{d}t$ Dies führt jedoch (soweit ich das beurteilen kann) zu

\vec{B} (\vec{r}, t) = (\begin{matrix} C_{1} \\ C_{2} \\ C_{3} \end{matrix})

$\vec{B}(\vec{r}, t) = \left( \begin{smallmatrix} C_1\\C_2\\C_3 \end{smallmatrix} \right)$ mit unbekannten Konstanten

C_{i}

$C_i$ . Dieses Ergebnis erfüllt die Maxwell-Gleichungen, da

\nabla \cdot (\begin{matrix} C_{1} \\ C_{2} \\ C_{3} \end{matrix}) = 0 Und \nabla \times (\begin{matrix} C_{1} \\ C_{2} \\ C_{3} \end{matrix}) = ε_{0} μ_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial T} = 0

$\nabla \cdot \left( \begin{smallmatrix} C_1\\C_2\\C_3 \end{smallmatrix} \right) = 0 \quad\text{ and }\quad \nabla \times \left( \begin{smallmatrix} C_1\\C_2\\C_3 \end{smallmatrix} \right) = \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = 0$

Bedeutet dies wirklich, dass, wenn wir gegeben werden $\vec{E}$ und die quellenfreien Maxwell-Gleichungen, dass wir anhand der Theorie nicht bestimmen können, ob es überhaupt kein Magnetfeld gibt oder ob es ein konstantes Magnetfeld gibt, das den gesamten Raum ausfüllt?

Hinweis: Ich stelle diese Frage, weil ich in meinem Physikunterricht ebene elektromagnetische Wellen der Form betrachte $\vec{E} = \vec{E}_0 e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}$ , wurden wir oft gebeten zu rechnen $\vec{B}$ gegeben das elektrische Feld der Welle unter Verwendung der Maxwell-Gleichungen. Wir haben uns über die Integrationskonstanten gewundert, da aber immer davon ausgegangen wurde, dass die Felder die Form haben

\vec{E} (\vec{R}, T) = {\vec{E}}_{0} e^{ich (\vec{k} \cdot \vec{R} - ω T)}

$\vec{E}(\vec{r}, t) = \vec{E}_0 e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}$

\vec{B} (\vec{R}, T) = {\vec{B}}_{0} e^{ich (\vec{k} \cdot \vec{R} - ω T)}

$\vec{B}(\vec{r}, t) = \vec{B}_0 e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}$ die Konstanten wurden natürlich auf Null gesetzt. Ich frage mich jedoch, ob diese Annahme sicher ist und was die Argumentation dahinter ist.

Antworten (3)

Integrationskonstanten in Maxwell-Gleichungen (Mehrdeutigkeit?)

Tobias · Answer 1

Die wichtigste Aussage in dieser Antwort auf Ihre Frage ist: Ja, man kann ein konstantes Magnetfeld überlagern. Das kombinierte Feld bleibt eine Lösung der Maxwell-Gleichungen. $\def\vB{{\vec{B}}}$ $\def\vBp{{\vec{B}}_{\rm p}}$ $\def\vBq{{\vec{B}}_{\rm h}}$ $\def\vE{{\vec{E}}}$ $\def\vr{{\vec{r}}}$ $\def\vk{{\vec{k}}}$ $\def\om{\omega}$ $\def\rot{\operatorname{rot}}$ $\def\grad{\operatorname{grad}}$ $\def\div{\operatorname{div}}$ $\def\l{\left}\def\r{\right}$ $\def\pd{\partial}$ $\def\eps{\varepsilon}$ $\def\ph{\varphi}$

Da Sie ebene Wellen verwenden, können Sie nicht einmal zwingen, dass die Felder mit zunehmender Entfernung vom Ursprung ausreichend schnell abklingen. Das würde die Lösung der Maxwell-Gleichungen für gegebene Raumeigenschaften (wie z $\mu,\varepsilon,\kappa$ , und vielleicht Raumladung $\rho$ und eine eingeprägte Stromdichte $\vec{J}$ ). Aber in Ihrem Fall hätten Sie keinen Generator für das Feld. Ihr Setup ist nur der leere Raum. Wenn Sie das Feld dazu bringen, mit wachsender Entfernung ausreichend schnell abzunehmen, erhalten Sie nur Nullamplituden $\vec{E}_0=\vec{0}$ , $\vec{B}_0=\vec{0}$ für deine Wellen. Was sicherlich eine Lösung der Maxwell-Gleichungen ist, aber auch sicherlich nicht das, was Sie haben möchten.

Mit den Integrationskonstanten bist du aus meiner Sicht etwas zu schnell. Sie verlieren etwas Allgemeingültigkeit, wenn Sie vernachlässigen, dass diese Konstanten wirklich von den Raumkoordinaten abhängen können.

Schauen wir uns an, was sich wirklich ableiten lässt $\vB(\vr,t)$ aus den Maxwell-Gleichungen für ein gegebenes $\vE(\vr,t)=\vE_0 \cos(\vk\vr-\om t)$ im freien Raum.

Zunächst eine Rekapitulation: Wir berechnen ein bestimmtes B-Feld $\vBp$ das erfüllt Maxwells Gleichungen:

\begin{aligned} \nabla \times ({\vec{E}}_{0} \cos (\vec{k} \vec{R} - ω T)) & = - \partial_{T} {\vec{B}}_{P} (\vec{R}, T) \\ (\nabla \cos (\vec{k} \vec{R} - ω T)) \times {\vec{E}}_{0} & = - \partial_{T} {\vec{B}}_{P} (\vec{R}, T) \\ - \vec{k} \times {\vec{E}}_{0} Sünde (\vec{k} \vec{R} - ω T) = - \partial_{T} {\vec{B}}_{P} (\vec{R}, T) \end{aligned}

$\begin{array}{rl} \nabla\times\l(\vE_0\cos(\vk\vr-\om t)\r)&=-\pd_t \vBp(\vr,t)\\ \l(\nabla\cos(\vk\vr-\om t)\r)\times\vE_0&=-\pd_t\vBp(\vr,t)\\ -\vk\times\vE_0\sin(\vk\vr-\om t) = -\pd_t \vBp(\vr,t) \end{array}$ Dies führt uns mit

\partial_{t} \cos (\vec{k} \vec{r} - ω t) = ω \sin (\vec{k} \vec{r} - ω t)

$\pd_t \cos(\vk\vr-\om t) = \om \sin(\vk\vr-\om t)$ zum Ansatz

{\vec{B}}_{P} (\vec{R}, T) = - \vec{k} \times {\vec{E}}_{0} \cos (\vec{k} \vec{R} - ω T) / ω .

$\vBp(\vr,t) = -\vk\times\vE_0 \cos(\vk\vr-\om t)/\om.$ Die Divergenzgleichung

div {\vec{B}}_{p} (\vec{r}, t) = - \vec{k} \cdot (\vec{k} \times {\vec{E}}_{0}) \cos (\vec{k} \vec{r} - ω t) / ω = 0

$\div\vBp(\vr,t)=-\vk\cdot(\vk\times\vE_0)\cos(\vk\vr-\om t)/\om=0$ zufrieden ist und die Raumladungsfreiheit

0 = div \vec{E} (\vec{r}, t) = \vec{k} \cdot {\vec{E}}_{0} \sin (\vec{k} \vec{r} - ω t)

$0=\div\vE(\vr,t) = \vk\cdot\vE_0\sin(\vk\vr-\om t)$ liefert das

\vec{k}

$\vk$ Und

{\vec{E}}_{0}

$\vE_0$ sind orthogonal. Das letzte, was zu überprüfen ist, ist das Ampere-Gesetz

\begin{aligned} verrotten {\vec{B}}_{P} & = μ_{0} ε_{0} \partial_{T} \vec{E} \\ \vec{k} \times (\vec{k} \times {\vec{E}}_{0}) Sünde (\vec{k} \vec{R} - ω T) / ω & = - μ_{0} ε_{0} {\vec{E}}_{0} Sünde (\vec{k} \vec{R} - ω T) ω \\ (\vec{k} \underset{0}{\underset{⏟}{(\vec{k} \cdot {\vec{E}}_{0})}} - {\vec{E}}_{0} {\vec{k}}^{2}) Sünde (\vec{k} \vec{R} - ω T) / ω & = - μ_{0} ε_{0} {\vec{E}}_{0} Sünde (\vec{k} \vec{R} - ω T) ω \end{aligned}

$\begin{array}{rl} \rot\vBp&=\mu_0 \eps_0 \pd_t\vE\\ \vk\times(\vk\times\vE_0)\sin(\vk\vr-\om t)/\om &= -\mu_0\eps_0 \vE_0 \sin(\vk\vr-\om t) \om\\ \biggl(\vk \underbrace{(\vk\cdot\vE_0)}_0-\vE_0\vk^2\biggr)\sin(\vk\vr-\om t)/\om&= -\mu_0\eps_0 \vE_0 \sin(\vk\vr-\om t) \om \end{array}$ womit man zufrieden ist

\frac{ω}{| \vec{k} |} = \frac{1}{\sqrt{μ_{0} ε_{0}}} = c_{0}

$\frac{\omega}{|\vk|} = \frac1{\sqrt{\mu_0\eps_0}}=c_0$ (die Lichtgeschwindigkeit).

Jetzt schauen wir, welche Modifikationen $\vB(\vr,t)=\vBp(\vr,t)+\vBq(\vr,t)$ die Maxwellschen Gesetze erfüllen.

\begin{aligned} \nabla \times \vec{E} (\vec{R}, T) & = - \partial_{T} ({\vec{B}}_{P} (\vec{R}, T) + {\vec{B}}_{H} (\vec{R}, T)) \\ \nabla \times \vec{E} (\vec{R}, T) & = - \partial_{T} {\vec{B}}_{P} (\vec{R}, T) - \partial_{T} {\vec{B}}_{H} (\vec{R}, T) \\ 0 & = - \partial_{T} {\vec{B}}_{H} (\vec{R}, T) \end{aligned}

$\begin{array}{rl} \nabla\times\vE(\vr,t) &= -\pd_t\l(\vBp(\vr,t)+\vBq(\vr,t)\r)\\ \nabla\times\vE(\vr,t) &= -\pd_t\vBp(\vr,t)-\pd_t\vBq(\vr,t)\\ 0 &= -\pd_t\vBq(\vr,t) \end{array}$ Das heißt, die Modifikation

{\vec{B}}_{h}

$\vBq$ ist zeitunabhängig. Wir schreiben nur

{\vec{B}}_{h} (\vec{r})

$\vBq(\vr)$ anstatt

{\vec{B}}_{h} (\vec{r}, t)

$\vBq(\vr,t)$ . Die Divergenzgleichung für das modifizierte B-Feld lautet

0 = div ({\vec{B}}_{p} (\vec{r}, t) + {\vec{B}}_{h} (\vec{r})) = \underset{= 0}{\underset{⏟}{div ({\vec{B}}_{p} (\vec{r}, t))}} + div ({\vec{B}}_{h} (\vec{r}))

$0=\div\l(\vBp(\vr,t)+\vBq(\vr)\r)=\underbrace{\div\l(\vBp(\vr,t)\r)}_{=0} + \div\l(\vBq(\vr)\r)$ sagen uns, dass die Änderung

{\vec{B}}_{h} (\vec{r})

$\vBq(\vr)$ muss auch quellenfrei sein:

div {\vec{B}}_{H} (\vec{R}) = 0

$\div\vBq(\vr) = 0$ Amperes Gesetz ist

\begin{aligned} \nabla \times ({\vec{B}}_{P} (\vec{R}, T) + {\vec{B}}_{H} (\vec{R})) & = μ_{0} ε_{0} \partial_{T} \vec{E}, \\ verrotten ({\vec{B}}_{H} (\vec{R})) & = 0. \end{aligned}

$\begin{array}{rl} \nabla\times(\vBp(\vr,t)+\vBq(\vr)) &= \mu_0\eps_0\pd_t \vE,\\ \rot(\vBq(\vr))&=0. \end{array}$ Freier Speicherplatz ist einfach wegverbunden. Daher,

rot ({\vec{B}}_{h} (\vec{r})) = 0

$\rot(\vBq(\vr))=0$ impliziert, dass jede zulässige

{\vec{B}}_{h}

$\vBq$ kann als Gradient eines skalaren Potentials dargestellt werden

{\vec{B}}_{h} (\vec{r}) = - grad φ (\vec{r})

$\vBq(\vr)=-\grad\ph(\vr)$ .

Aus $\div\vBq(\vr) = 0$ Daraus folgt, dass dieses Potential die Laplace-Gleichung erfüllen muss

0 = - div ({\vec{B}}_{H} (\vec{R})) = div Grad φ = Δ φ

$0=-\div(\vBq(\vr)) = \div\grad\ph = \Delta\ph$

Das ist alles, was uns die Maxwell-Gleichungen für den freien Raum mit vorgegebenem E-Feld und ohne Randbedingungen sagen:

Das B-Feld kann durch den Gradienten eines beliebigen harmonischen Potentials modifiziert werden .

Die Sache ist die, dass man sich bei Problemen im unendlichen Raum oft einer Konfiguration mit endlicher Ausdehnung annähert, die ausreichend weit von Dingen entfernt ist, die die Messung erheblich beeinflussen könnten.

Wie entstehen ebene elektromagnetische Wellen?

Ein relativ einfacher Generator für elektromagnetische Wellen ist eine Dipolantenne. Diese erzeugen keine ebenen Wellen, sondern sphärisch gekrümmte Wellen, wie das folgende schöne Bild von der Wikipedia-Seite http://en.wikipedia.org/wiki/Antenna_%28radio%29 zeigt .

Elektromagnetische Wellen eines Dipols

Wenn Sie jedoch weit vom Sendedipol entfernt sind und keine reflektierenden Flächen um Sie herum vorhanden sind, wird die elektromagnetische Welle in Ihrer näheren Umgebung wie eine ebene Welle aussehen und Sie können sie als solche mit ausreichend genauen Ergebnissen für Ihren praktischen Zweck behandeln.

In dieser wichtigen Anwendung ist die ebene Welle eine Annäherung, bei der die Überlagerung mit einem konstanten elektromagnetischen Feld nicht wirklich angemessen ist.

Wir denken nur daran, wenn wir in einer speziellen Anwendung ein konstantes Feld überlagern müssen, dürfen wir das tun.

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich verstehe, worauf Sie hinauswollen. Nehmen wir an, wir bauen den Generator, zB eine Dipolantenne, in den Aufbau ein. Jetzt ist das einzige, was uns gegeben ist, das elektrische Feld, das von der Antenne erzeugt wird. Ist es angesichts dessen möglich, das erzeugte Magnetfeld zu bestimmen, oder besteht immer noch eine Unklarheit, dass Sie beliebige Konstanten hinzufügen können und es eine Lösung bleibt? Ich meine, man könnte natürlich argumentieren, dass es keinen Grund dafür gibt, dass ein zusätzliches konstantes Feld "aus dem Nichts" da ist, aber können Sie das einfach aus den Gleichungen bestimmen?
Ja man kann ein konstantes Magnetfeld mit überlagern $\operatorname{rot}\vec H=\vec0$ Und $\operatorname{div}\vec B=0$ . Mit $\mu=\mu_0$ jeden $\vec H=-\operatorname{grad}\phi$ für jede harmonische Funktion $\phi$ ist zulässig. Das Feld kommt nicht aus dem Nichts, aber die Quelle für das Feld liegt einfach nicht in der betrachteten Nachbarschaft. Zum Beispiel könnte es das Magnetfeld der Erde sein.

ProfRob · Answer 2

Die Antwort ist nein - Sie können das Magnetfeld nicht vollständig aus dem elektrischen Feld (oder umgekehrt) ohne Randbedingungen bestimmen. Der Grund ist, wie Sie zu Recht vermuten, dass es eine "konstante" Integration gibt, die nur in Bezug auf die Zeit konstant ist, nicht in Bezug auf die Position.

Dieses zusätzliche stationäre Feld kann durch ein zeitunabhängiges Skalarpotential mit einem von Null verschiedenen Gradienten erzeugt werden. Die Grundursache dieser Mehrdeutigkeit liegt darin, dass in den Maxwell-Gleichungen das E-Feld aus der partiellen Ableitung des B-Felds nach der Zeit und umgekehrt erzeugt wird. Ein stationäres B-Feld hat also keinen Einfluss auf das E-Feld und umgekehrt.

Aber wir wissen das vom gesunden Menschenverstand – das Vorhandensein des Erdmagnetfelds hat keinen Einfluss auf einen Lichtstrahl, den ich durch das Klassenzimmer strahle – das zeitabhängige E- und B-Feld, das mit der EM-Welle verbunden ist, sind immer noch in den Richtungen und haben dieselbe Amplitude, die sie hätten, wenn das Erdmagnetfeld nicht vorhanden wäre.

hyportnex · Answer 3

Für eine Antenne endlicher Größe müssen Sie die Strahlungsbedingung von Sommerfeld auferlegen http://en.wikipedia.org/wiki/Radiation_condition . Eine Konstante B erfüllt dies nicht und hat offensichtlich keine endliche Energie. Während Sie der Gleichung eine Konstante B hinzufügen können, wird sie aus diesen Gründen als nicht physikalisch ausgeschlossen. Die ebenen Wellen sind auch nicht physikalisch, nicht nur weil sie unendliche Energie haben, sondern nur ein Strahler unendlicher Größe sie erzeugen kann.

Integrationskonstanten in Maxwell-Gleichungen (Mehrdeutigkeit?)

Socob

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Tobias

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Tobias

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