Wird das Biot-Savart-Gesetz empirisch ermittelt oder kann es abgeleitet werden?

$\def\VA{{\bf A}} \def\VB{{\bf B}} \def\VJ{{\bf J}} \def\VE{{\bf E}} \def\vr{{\bf r}}$Das Biot-Savart-Gesetz ist eine Folge der Maxwell-Gleichungen.

Wir nehmen die Maxwell-Gleichungen an und wählen die Coulomb-Eichung,$\nabla\cdot\VA = 0$. Dann

Nachtrag : In Mathematik und Naturwissenschaften ist es wichtig, die Unterscheidung zwischen der historischen und der logischen Entwicklung eines Fachs im Auge zu behalten. Die Geschichte eines Themas zu kennen kann hilfreich sein, um ein Gefühl für die beteiligten Persönlichkeiten zu bekommen und manchmal eine Intuition für das Thema zu entwickeln. Die logische Darstellung des Themas ist die Art und Weise, wie Praktiker darüber denken. Es fasst die wichtigsten Ideen auf die vollständigste und einfachste Weise zusammen. Von diesem Standpunkt aus ist Elektromagnetismus das Studium der Maxwell-Gleichungen und des Lorentz-Kraftgesetzes. Alles andere ist zweitrangig, einschließlich des Biot-Savart-Gesetzes.

Es mag wahr sein, dass Menschen in früheren Tagen die Kraft gemessen haben, die aus einem Fadenstrom resultiert, das Biot-Savart-Gesetz entdeckten und dies dann wiederum als Inspiration für die Konstruktion der Maxwell-Gleichungen verwendeten. Wenn es historisch wirklich so passiert ist, gut.

Aber das ist analog zu einem außerirdischen Archäologen, der in 10 Millionen Jahren eine Skeletthand und einen Fuß in der Erde findet. Anhand der Hand versteht der Archäologe, was das Tier, das diese Hand hatte, gerne damit machte: dass es Werkzeuge greifen und benutzen konnte und so weiter. Aus dem Fuß geht der Archäologe hervor, dass das Tier, zu dem es gehörte, auf zwei Beinen ging und im Erwachsenenalter typischerweise etwa 100 bis 300 Pfund wog.

Erst später stellt der Archäologe fest, dass sowohl die Hand als auch der Fuß demselben Tier gehörten – einem Menschen. Aber die Art der Arbeit bedeutet, dass das Puzzle dessen, was ein Mensch war, in Stücke zerlegt werden muss, die einzeln verstanden werden können, bevor das Gesamtbild zusammengefügt werden kann. Allerdings wäre es falsch zu behaupten, dass Hand und Fuß grundlegender sind als der Mensch selbst.

Die Maxwell-Gleichungen wurden so konstruiert, dass sie mit dem Biot-Savart-Gesetz und anderen Informationen wie dem Coulomb-Gesetz übereinstimmen. Man kann also Biot-Savart von Maxwell ableiten, aber nicht umgekehrt, denn Maxwell ist allgemeiner und allumfassender.

Wenn Sie das Lorentz-Kraftgesetz bereits kennen , können Sie die Stärke des Magnetfelds von einem Draht ableiten, indem Sie geladene Testteilchen in die Nähe des Drahts schießen und ihre Bewegung beobachten. Aber das stellt in Frage, woher Sie das Lorentz-Kraftgesetz bereits kennen und so weiter.

Sie können sich den ganzen Tag im Kreis drehen, was fundamental ist oder nicht, was auf experimenteller Beobachtung beruhen muss und was lediglich konstruiert ist, um mit diesen Beobachtungen übereinzustimmen, aber oft gibt es eine Präferenz für "einfache" experimentelle Beobachtungen, die als grundlegend betrachtet werden, vs ... theoretische Konstrukte, die viele solcher Beobachtungen enthalten - siehe Chris Whites Kommentar, dass Maxwells Gleichungen aus dem Coulombschen Gesetz und einigen anderen Dingen abgeleitet werden können.

Für mich ist das albern. Maxwells Gleichungen beinhalten die Gesamtsumme unserer Beobachtungen (zumindest diejenigen, die in das klassische Regime passen). Für mich ist es das , was wir über den klassischen Elektromagnetismus wissen. Zu sagen, dass Sie die Maxwell-Gleichung mit nur einem Ergebnis plus ein paar Annahmen herleiten können ... nun, es verfehlt den Punkt, dass diese Annahmen auch getestet und verifiziert werden mussten. Sonderfälle (rein elektrische, rein magnetische, statische oder dynamische Felder) herauszugreifen und als „grundlegend“ zu behandeln, ist für mich sehr, sehr rückständig.

Bearbeiten: Aber wirklich, ein Physiker muss in beide Richtungen arbeiten. Um eine neue Theorie zu erstellen, haben wir oft Sonderfälle, von denen wir nicht wissen, dass sie miteinander verbunden sind, und müssen sie miteinander überbrücken. Das baut Maxwells Gleichungen aus dem Coulombschen Gesetz und Biot-Savart auf. Um ein bestimmtes Problem am einfachsten zu analysieren, für das wir nicht sicher sind, ob es eine Sonderfallformel gibt, müssen wir auf die allgemeinste Beschreibung (Maxwell) zurückgreifen und versuchen, es auf etwas Einfacheres und Leichteres zu reduzieren (in der Fall ohne Strom- und ohne Zeitabhängigkeit können Sie auf das Coulombsche Gesetz zurückgreifen). Beide Ansätze sind notwendig, um so flexibel wie möglich zu sein.

Bitte folgen Sie dem folgenden Link. https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot und gehen Sie bitte zur Rubrik "Arbeit". Es besagt, dass das Gesetz im Jahr 1820 experimentell entdeckt wurde, dh 45 Jahre vor der Veröffentlichung der Maxwell-Gleichungen. Die allgemeine Formulierung des Biot-Savart-Gesetzes wurde von P. Laplace gegeben. Der Ausdruck des Biot-Savart-Gesetzes (die Integration) zeigt, dass das Superpositionsprinzip bereits darin enthalten ist. Maxwell-Gleichungen wurden später entwickelt und sie wurden geeignet entworfen, um die Implikationen des Biot-Savart-Gesetzes zu umfassen. Vielleicht ist das der Grund, warum wir die Maxwell-Gleichungen aus dem Biot-Savart-Gesetz ableiten können und umgekehrt.

Bitte gehen Sie zu diesem Link https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force und gehen Sie zum Abschnitt "Verlauf". Es besagt, dass Thomson im Jahr 1881, dh 16 Jahre nach der Veröffentlichung der Maxwell-Gleichungen, erstmals eine Form des Lorentz-Kraftgesetzes aus den Maxwell-Gleichungen herleitete. Schließlich wurde die moderne Form des Lorentz-Kraftgesetzes von Lorentz 1892 aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet.

Die historische Sequenz ist also wie folgt:

Biot-Savart-Gesetz ==> Maxwell-Gleichungen ==> Lorentz-Kraft-Gesetz.

Aber in den Klassenzimmern werden wir in der folgenden Reihenfolge unterrichtet:

Erstens: Das Lorentz-Kraftgesetz, um das Konzept einzuführen, dass ein Magnetfeld eine Kraft auf eine sich bewegende Ladung ausübt.

Zweitens: Das Biot-Savart-Gesetz, um das Konzept einzuführen, dass sich bewegende Ladungen ein Magnetfeld erzeugen.

Drittens: Die Maxwell-Gleichungen; die Verallgemeinerung aller experimentellen Beobachtungen im Elektromagnetismus.

Das Fazit lautet also:

(1) Das Gesetz von Biot-Savart ist ein experimentell beobachtetes Gesetz. Dieses Gesetz beinhaltet auch die Idee, dass das Überlagerungsprinzip auch in der Magnetostatik gilt. Dieses Gesetz bildete die Grundlage für die Magnetostatik.

(2) Die Maxwell-Gleichungen wurden so abgeleitet, dass sie die Ergebnisse des Biot-Savart-Gesetzes (zusammen mit anderen experimentellen Beobachtungen des Elektromagnetismus) umfassen. Es ist eine theoretische Verallgemeinerung. Die Maxwell-Gleichungen sind grundlegender als jede andere experimentelle Beobachtung, da Experimente normalerweise unter bestimmten Umständen durchgeführt werden und daher keine verallgemeinerten Informationen liefern können.

(3) Das Lorentz-Kraftgesetz wurde aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet, kann aber direkt experimentell verifiziert werden.

HINWEIS

"Beobachten und dann verallgemeinern": Ich denke, so entwickelt sich die Physik. Beobachtung (Experiment) legt immer die Grundlage. Die Verallgemeinerung umfasst die Beobachtung und erweitert ihre Verwendbarkeit auf andere denkbare Konfigurationen, Fälle und Umstände. Daher ist es immer möglich, aus der Beobachtung eine Verallgemeinerung abzuleiten und umgekehrt [das Biot-Savart-Gesetz kann aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden und die Maxwell-Gleichungen können aus dem Biot-Savart-Gesetz abgeleitet werden] .

Hier wird betont, dass das Gesetz von Biot-Savart die wichtige Beobachtung ist, die das Gebiet der Magnetostatik begründet hat. Maxwell-Gleichungen (Verallgemeinerung) und das Konzept des Vektorpotentials (eine allgemeine Eigenschaft des Vektorfelds) können verwendet werden, um das Gesetz von Biot-Savart abzuleiten, aber das bedeutet nicht, dass das Gesetz nur ein Zwischenschritt in der Entwicklung des Wissens über Magnetostatik ist. Dass es möglich ist, das Gesetz von Biot-Savart aus den Maxwell-Gleichungen und dem Konzept des Vektorpotentials abzuleiten, bescheinigt nur, dass die Verallgemeinerung in den Maxwell-Gleichungen richtig ist.

Ausgehend von einem Rowland-Ring-Experiment ist es möglich, die Permeabilität als ein Maß für den Fluss zu definieren, der in einer Volumeneinheit pro Amperewindung erzeugt wird. Wenn wir dann davon ausgehen, dass sich dieser Fluss als inverses quadratisches Gesetz auflöst, erhalten wir das Biot-Savart-Gesetz als magisches Analogon des Coulomb-Gesetzes, wobei das Kreuzprodukt hinzugefügt wird, wobei die Rechtwinkligkeit der Feldrichtung berücksichtigt wird und streng nach dem Verständnis, dass dies der Fall ist eine Arbeitshypothese, die durch ihre Nützlichkeit bestätigt wird, da ein Stromelement nicht isoliert vom Rest seiner Schaltung existieren kann. Mein Rat - Ignorieren Sie alle Versuchungen, in mehr Mathematik als das erforderliche Minimum zu verfallen, das wird Sie zum Verständnis führen. Hoffe das hilft.

Wir müssen uns die Zeitlinie (die Geschichte) ansehen. Das Biot-Savart-Gesetz wurde vor der Veröffentlichung der Maxwell-Gleichungen veröffentlicht. Es ist also das Gaußsche Gesetz für Magnetfelder (die zweite Maxwell-Gleichung), das vom Biot-Savart-Gesetz abgeleitet wird und nicht umgekehrt. Die Ableitung des Gaußschen Gesetzes für Magnetfelder (die Zweite Maxwell-Gleichung) aus dem Biot-Savart-Gesetz kann hier nachgelesen werden Gaußsches Gesetz für Magnetfelder

Das Problem mit dem Gesetz von Biot-Savart ist, dass es theoretisch in Bezug auf aktuelle Elemente formuliert ist$Idl$und dann integriert. Aber in den meisten Lehrbüchern wird es auch für POINT-Gebühren formuliert, im Sinne von$qv$. Das Problem dabei ist, dass bei einer Punktladung$q$bewegt sich mit Geschwindigkeit$v$das Magnetfeld in nahegelegenen Räumen ÄNDERT sich mit der Zeit, dh wir haben a$\frac{dB}{dt}$, und dann finden Induktionseffekte statt und die magnetostatische Bedingung wird verletzt. Im Gegensatz dazu wann$Idl$entlang eines durchgehenden Drahtes integriert ist$B$Feld ist konstant, (magnetostatisch). Die beiden Situationen sind sehr unterschiedlich und meines Wissens die Punktgebühr$B$Feld wurde noch nie direkt gemessen. Die Macht an$qv$, ja, aber nicht das Feld produziert von$qv$.