Richtung der Kraft auf einen stromdurchflossenen Draht, bezogen auf die Energie des Magnetfeldes

Angenommen, ich habe einen stromführenden Draht mit Strom ICH aus der Seite kommend, entlang der z-Achse. Sein Feld ist einem homogenen Magnetfeld überlagert B in x-Richtung (nach rechts), die für existiert A ≤ j ≤ B ( A ≤ 0 , B ≥ 0 ). Unten ist mein Versuch darzustellen, wie die Feldlinien meiner Meinung nach aussehen, indem ich eine Kombination aus Software und Handzeichnung verwende:

Feld eines Drahtes in einem konstanten externen Feld

Nehmen wir nun an, wir behalten B − A konstant, aber den Draht relativ zur Platte des gleichförmigen Feldes auf und ab bewegen. Der Zustand, in dem sich der Draht oben auf der Platte befindet ( B = 0 ) hat eindeutig mehr Energie im Magnetfeld (für eine gegebene Länge ℓ ) als der Zustand, in dem der Draht unten ist. Das bedeutet, dass der Draht eine nach unten gerichtete Kraft erfahren sollte, dh Magnetfeldenergie könnte freigesetzt werden, indem der Draht nach unten bewegt wird, und diese Energie könnte verwendet werden, um Arbeit zu verrichten.

Aber das ist das Gegenteil der richtigen Richtung für die Lorentz-Kraft, also bin ich jetzt verblüfft. Was ist an dieser Argumentation falsch?

Um zu sehen, ob ich den Fehler herauskitzeln konnte, machte ich weiter und machte das Integral. Die Überlagerung des Feldes hat eine Energie proportional zu ∫ B 1 ⋅ B 2 D v plus Begriffe unabhängig von der Position des Drahtes, wo B 1 ist das einheitliche Feld und B 2 ist das Feld des Drahtes. Wenn ich das Integral für eine Platte des Volumens der Länge mache ℓ in z-richtung bekomme ich ICH B ℓ H + konst , Wo H = | A | und konst. bedeutet einen Begriff, der sich nicht ändert, wenn B − A wird fest gehalten. Die Kraft auf den Draht pro Längeneinheit ist dann ICH B ℓ , was das erwartete Ergebnis ist, aber die Kraft scheint immer noch in die falsche Richtung zu gehen.

Um den gleichmäßigen Teil des Magnetfelds zu erzeugen, müssen wir eine Stromschicht haben, die bei aus der Seite kommt j = B , und ein Blatt, das in die Seite bei eingeht j = A . Diese sollten eine Aufwärtskraft auf den Draht verursachen, die mit dem Lorentz-Kraftgesetz übereinstimmt und der Energieanalyse widerspricht.

Es scheint, als könnte ich auch eine geometrisch einfachere Version erstellen. Wenn ich den Draht weglasse, habe ich nur zwei entgegengesetzt gerichtete Stromblätter. Das Lorentzkraftgesetz besagt, dass sich diese Bleche gegenseitig abstoßen, und das macht auch Sinn, weil das Magnetfeld a dazu beiträgt j Druck auf die Stress-Energie. Aber die Energie des Feldes (pro xz-Flächeneinheit) wird eindeutig zunehmen, wenn die Blätter weiter auseinander gehen.

Was ist hier falsch an meiner Argumentation?

Warum sollte der Draht, wenn er nach oben bewegt wird, mehr Energie haben? Ist es nicht ein einheitliches Magnetfeld?
Angenommen, Sie beginnen, den Draht von unten nach oben (+y-Achse) zu bewegen. Die Richtung der Kraft wird auch nach oben sein. Sie leisten also negative Arbeit, indem Sie den Draht langsam bewegen und dadurch seine Energie verringern. Der Draht oben sollte also weniger Energie haben.
Tut mir leid, dass ich dann deine Zeit verschwende. Ich kann wirklich nicht helfen
Das ist OK, danke für deine Gedanken. Ich werde meine alten Kommentare löschen.

Antworten (1)

Hier ist eine bekanntere Situation, die die gleiche Art von Paradox veranschaulicht: Zwei parallele Drähte, die gleiche Ströme (gleiche Größe, gleiches Vorzeichen) führen, ziehen sich gegenseitig an. Aber bei zwei parallelen Drähten, die jeweils einen festen Strom führen ICH , ist die Gesamtenergie in ihrem kombinierten Magnetfeld größer , wenn die Drähte näher beieinander liegen. Bedeutet dies, dass in dieser Situation keine Energie gespart wird?

Antwort: Ja, genau das bedeutet es! Energieerhaltung gilt nur in einem Modell ohne zeitabhängige äußere Einflüsse. Aber wir brauchen einen zeitabhängigen äußeren Einfluss, um die Ströme konstant zu halten, wenn sich die Drähte zu bewegen beginnen. Wenn wir das Modell erweitern, um andere dynamische Einheiten einzubeziehen, die irgendwie so angeordnet sind, dass sie die Ströme konstant halten, dann werden wir feststellen, dass die Gesamtenergie des gesamten Systems erhalten bleibt.

Nehmen wir stattdessen an, dass wir ein Modell betrachten, das keine solchen Einflüsse hat. In diesem Fall nehmen die Ströme in den Drähten ab , wenn sich die Drähte einander nähern. Um zu verstehen, warum, denken Sie an die einzelnen Ladungen, die sich entlang eines der Drähte bewegen. Die Kraft auf eine Ladung in Draht 1 aufgrund des Magnetfeldes des Drahtes 2 ist proportional zu ∇ × B 2 . Die Ladung will sich in einem Kreisbogen bewegen , der sich zum anderen Draht hin krümmt. Aber wenn die Ladung diesem Kreisbogen folgt, bewegt sie sich nicht nur auf den anderen Draht zu; Seine Geschwindigkeit bleibt konstant, was bedeutet, dass die Komponente seiner Geschwindigkeit parallel zum Draht abnehmen muss . Mit anderen Worten, der Strom im Draht nimmt ab.

Die gleiche Argumentation gilt für die von Ihnen beschriebene Situation.

Ich habe diese Berechnung nicht explizit durchgeführt, aber ich wette, wenn Sie diese Berechnung durchführen und den abnehmenden Strom auf diese Weise berücksichtigen, werden Sie feststellen, dass sich die Gesamtenergie nicht ändert.

Das scheint sinnvoll zu sein, danke. Es wäre schön zu sehen, wie es im quantitativen Detail funktioniert. Sie beschreiben im Wesentlichen nur einen Induktionseffekt, nicht wahr? Ich hatte mir vage vorgestellt, dass die Induktion vernachlässigbar gemacht werden könnte, indem ich die Bewegung langsam ausführe, aber das war wahrscheinlich schlampig gedacht.
Ist dies nichts weiter als ein elektrischer „Motor“, bei dem eine Gegen-EMK erzeugt wird, wenn sich der Draht bewegt?
Richtung der Kraft auf einen stromdurchflossenen Draht, bezogen auf die Energie des Magnetfeldes
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