Warum brauchen wir die Gaußschen Gesetze für Elektrizität und Magnetismus?

Die Quelle eines elektromagnetischen Feldes ist eine Verteilung elektrischer Ladung, ρ , und ein Strom, mit Stromdichte J . Betrachtet man nur das Gesetz von Faraday und das Gesetz von Ampere-Maxwell:

(1) ∇ × E = − ∂ B ∂ T Und ∇ × B = μ 0 J + 1 C 2 ∂ E ∂ T
In einem isolierten System kann sich die Gesamtladung nicht ändern. Somit haben wir die Kontinuitätsgleichung, die sich auf die Ladungserhaltung bezieht:
(2) ∂ ρ ∂ T = − ∇ ⋅ J
Aus diesen drei Gleichungen, wenn wir die Divergenz beider Gleichungen mit einbeziehen ( 1 ) , und verwenden ( 2 ) Im Ampere-Maxwell-Gesetz können wir die beiden Gaußschen Gesetze für Elektrizität und Magnetismus erhalten:
(3) ∇ ⋅ B = 0 Und ∇ ⋅ E = ρ ε 0

Daher die Annahme von ( 1 ) Und ( 2 ) impliziert ( 3 ) . Auf den ersten Blick könnte man sagen, dass wir nur diese drei Gleichungen brauchen. Außerdem scheint die Ladungserhaltung eine stärkere Bedingung zu sein als die beiden Gaußschen Gesetze (es ist ein Erhaltungsgesetz!), aber wie der Artikel in Wikipedia sagt, kann das Ignorieren der Gaußschen Gesetze zu Problemen bei numerischen Berechnungen führen . Dies steht im Widerspruch zur obigen Diskussion, da alle Informationen in den ersten drei Gleichungen enthalten sein sollten.

Die Frage ist also, was ist der Informationsgehalt der beiden Gaußschen Gesetze? Ich meine, abgesehen davon, dass wir uns die Quellen elektrischer und magnetischer Felder zeigen, muss es etwas zugrundeliegendes geben, das die Divergenz der Felder erfordert. Wenn nein, was ist dann der Grund für die inhärent falschen Ergebnisse in den genannten numerischen Berechnungen?

(Außerdem weiß ich nicht, auf welche Art von Berechnung in dem Artikel verwiesen wird.)

Ich denke, der Artikel bezieht sich auf iterative numerische Lösungen, die notwendigerweise nicht exakt sind. Es deutet darauf hin, dass Artefakte des Algorithmus groß werden können.
Im Lehrbuch Novozhilov, Electrodynamics, Kapitel 1, wird gezeigt, dass man entweder die vier Maxwellschen Gleichungen als Ausgangspunkt nehmen kann, oder man die Kontinuitätsgleichung und die beiden Curl-Maxwell-Gleichungen nehmen kann, jedoch muss man AUCH noch die beiden Maxwell-Divergenzen nehmen Gleichungen als Annahmen, aber jetzt muss man nur annehmen, dass sie zu einem bestimmten Zeitpunkt gelten müssen, und man kann die anderen Gleichungen verwenden, um dann zu zeigen, dass sie zu allen späteren Zeiten gelten werden.

Antworten (3)

Ich bin nicht damit einverstanden, dass Sie das Gaußsche Gesetz mit der vorgeschlagenen Methode erhalten. Was Sie stattdessen erhalten, ist

∂ ∇ ⋅ B ∂ T = 0 , 1 C 2 ∂ ∇ ⋅ E ∂ T + μ 0 ∇ ⋅ J = 1 C 2 ∂ ∇ ⋅ E ∂ T − μ 0 ∂ ρ ∂ T = 0.
Diese Gleichungen geben Ihnen nur die Änderungsrate von ∇ ⋅ B Und ∇ ⋅ E , aber nicht ihren Wert, der durch Zeitintegration definiert werden muss und Ihnen die Antwort bis auf eine positionsabhängige Konstante (deren Zeitableitung Null ist) liefert. ZB ist das Gaußsche Gesetz für die Elektrizität nun gegeben durch
∇ ⋅ E ( R , T ) = 1 ϵ 0 ρ ( R , T ) + C ( R ) .
Wir brauchen also eine zusätzliche Einschränkung, um die Funktion anzugeben C ( R ) , dh das Gaußsche Gesetz, das in diesen Begriffen geschrieben werden kann als:
C ( R ) = 0.

Die Information der Gaußschen Gesetze ist also nicht in den Locken enthalten. Dann ist die Überbestimmtheit der Maxwell-Gleichungen nicht wahr, oder? Ich habe eine der Quellen des Wiki-Artikels gelesen und es hat die folgende Annahme im Fall der Zeitableitung von ∇ ⋅ B : "Wenn jemals in seiner vergangenen Geschichte das Feld verschwunden ist, muss diese Konstante Null sein, und da man vernünftigerweise annehmen kann, dass die anfängliche Generation des Feldes zu einem Zeitpunkt nicht unendlich weit entfernt war", abschließend ∇ ⋅ B = 0 . Sind diese Annahmen "realistisch"?
Tatsächlich sind die Maxwell-Gleichungen unterbestimmt, da ihnen die Beschreibung fehlt, wie die Ladung und die Ströme durch die Felder beeinflusst werden, sogenannte Materialgleichungen . Auch muss man diese Gleichungen nicht begründen – sie sind phänomenologisch postuliert, wie das Gravitationsgesetz oder die Newtonschen Gesetze.

Es gibt ein Papier , das mit der zitierten Aussage bei Wikipedia verknüpft ist. Kurz gesagt, das System ist eigentlich nicht überbestimmt. Die Autoren berichten, dass numerische Methoden, die die divergenzfreien Bedingungen ignorieren, zu ungenauen Lösungen führen. Sie zeigen, dass sie benötigt werden, um die Eindeutigkeit der Lösungen zu gewährleisten (Sie müssen die Randbedingungen berücksichtigen).

Dies ist nur ein explizites Beispiel für die Antwort von @vadim: Wählen Sie eine Funktion aus F ( X → ) , zeitlich konstant, so dass Δ F = 5 . Satz B → = ∇ → F , E → = J → = 0 , ρ = 17 . Dann Gl. (1) und (2) sind erfüllt, aber beide Gleichungen in (3) nicht.

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