Energieerhaltung und der Satz von Poynting

Die Energieeinsparung in einem Stromkreis kann durch das Amperesche Gesetz ausgedrückt werden

∇ × B = μ Ö J + ϵ Ö μ Ö ∂ E ∂ T
wenn beide Seiten der Gleichung mit gepunktet sind E und die Eingangsleistung wird auf der linken Seite der Gleichung platziert, während die Verlustleistung (die Ausgangsleistung) auf der rechten Seite der Gleichung platziert wird

E ⋅ ( ∇ × B ) − ϵ Ö μ Ö E ⋅ ∂ E ∂ T = E ⋅ μ Ö J

E ⋅ 1 μ Ö ( ∇ × B ) − ϵ Ö E ⋅ ∂ E ∂ T = E ⋅ J

E ⋅ ( ∇ × H ) − ϵ Ö E ⋅ ∂ E ∂ T = E ⋅ J

Die Einheiten aller Terme sind [ W M 3 ] , also Energie pro Zeiteinheit pro Kubikmeter.

Wenn wir nun den Satz von Poynting aus der obigen Gleichung erhalten müssen, müssen wir auf beiden Seiten der Gleichung den Term hinzufügen + B ⋅ ∂ B ∂ T die von Faradays Gesetz punktiert mit B ist gleich − B ⋅ ( ∇ × E )

E ⋅ ( ∇ × B ) − ϵ Ö μ Ö E ⋅ ∂ E ∂ T + B ⋅ ∂ B ∂ T = E ⋅ μ Ö J + B ⋅ ∂ B ∂ T

E ⋅ ( ∇ × H ) − ϵ Ö μ Ö E ⋅ ∂ E ∂ T − B ⋅ ( ∇ × E ) = E ⋅ μ Ö J + B ⋅ ∂ B ∂ T

E ⋅ ( ∇ × H ) − B ⋅ ( ∇ × E ) = ϵ Ö μ Ö E ⋅ ∂ E ∂ T + B ⋅ ∂ B ∂ T + E ⋅ μ Ö J

− ∇ ⋅ S = ϵ Ö E ⋅ ∂ E ∂ T + B μ Ö ⋅ ∂ B ∂ T + E ⋅ J

Wo S = 1 μ Ö E × B = E × H [ W M 2 ] ist der Poynting-Vektor. Macht das Obige den Poynting-Vektor beim Beweis von CoE nicht überflüssig, wobei letzterer anscheinend direkt aus dem Ampere-Gesetz allein folgt?

Beachten Sie, dass das nicht stimmt

E ⋅ ( ∇ × H ) − ϵ Ö E ⋅ ∂ E ∂ T = E ⋅ J

"gibt nur eine Beziehung an" zwischen Vektorfeldern, wie es nicht stimmt

∂ ∂ T [ 1 2 ( ϵ 0 E 2 + B 2 μ 0 ) ]

"gibt nur eine Beziehung an" zwischen Vektorfeldern. Diese Zustand Änderung der Energiedichte des elektromagnetischen Feldes . Wie oben gezeigt, ist das Erhalten des Poynting-Vektors nur ein Ergebnis einer mathematischen Manipulation einer Gleichung, die bereits ein Gleichgewicht dieser Leistungsdichten zeigt, und daher sind der Poynting-Vektor und das damit verbundene Theorem redundant.

Wie drückt das Amperesche Gesetz per se die Energieerhaltung aus? Alles, was ich im Ampereschen Gesetz sehe, sind zwei Felder, überhaupt keine Energie.

Antworten (2)

Es ist keine Antwort, sondern eher ein Hinweis. Aus der Schule erinnere ich mich an das einfache Problem, das dazu zwingt, das Konzept eines Poynting-Vektors zu akzeptieren. Wenn man zwei geladene Teilchen betrachtet, die sich in senkrechte Richtungen bewegen, und Energie-/Impulserhaltung für dieses System schreibt, enthält die Lösung explizit den Poynting-Vektor. In einigen einfachen Fällen (wie Teilchen, die sich in eine Richtung bewegen, oder nicht wechselwirkende Teilchen, die sich in einem statischen Feld bewegen) können Sie dieses Konzept offensichtlich überspringen.

Karsus Ren hat Recht. Das Ampere-Gesetz gibt nur eine Beziehung zwischen drei Vektorfeldern an. Und wie Sie geschrieben haben, mussten Sie das Faradaysche Gesetz verwenden, um die Erhaltungsgleichung abzuleiten, also reicht das Amperesche Gesetz allein nicht aus.

Aber mein Hauptpunkt ist, dass es nicht darum geht, die Energieerhaltung zu beweisen . Was Sie gerade getan haben, ist nur eine mathematische Manipulation von Gleichungen, die zu einer anderen Gleichung geführt hat. Aus bestimmten Gründen sind unsere Lieblingseinheiten Watt und Joule, also haben wir unsere Gleichungen so manipuliert, dass wir diese Einheiten darin erhalten. Wir nennen das Ergebnis "Energieerhaltungsgleichung", aber es ist in keiner Weise neu oder grundlegend . Welche Gleichungen Sie auch immer haben , solange Sie genügend Einheiten enthalten, können Sie immer etwas manipulieren und zu einer "Energieerhaltungsgleichung" gelangen.

Durch das Ableiten der Energieerhaltungsgleichung haben Sie also etwas, das Sie bereits wussten, auf eine etwas andere Weise ausgedrückt, das für Sie in manchen Situationen nützlich ist. Der einzige Zweck des Poynting-Vektors ist, dass es sich um eine praktische Substitution handelt, da Sie ihn als Dichte des Energieflusses interpretieren können .

Wenn Sie die Energieerhaltungsgleichung sehen, sehen Sie, dass es vernünftig ist, den Begriff zu nennen

ϵ 0 E ⋅ ∂ E ∂ T + B μ 0 ⋅ ∂ B ∂ T = ∂ ∂ T [ 1 2 ( ϵ 0 E 2 + B 2 μ 0 ) ] ≡ ∂ u ∂ T

die Änderung der Energiedichte des elektromagnetischen Feldes . Auch dies ist nur eine Art, wie wir uns entschieden haben, es zu nennen. Da es Energieeinheiten enthält, enthält es elektrische und magnetische Felder und erscheint in der Erhaltungsgleichung. Indem Sie diese praktische Substitution verwenden, erhalten Sie den Satz von Poynting:

∂ u ∂ T + ∇ ⋅ S = − J ⋅ E

Durch Integrieren über einen beliebigen Raumbereich und Anwendung des Divergenzsatzes erhält man:

∂ ∂ T ∫ v u D v = − ∮ ∂ v S ⋅ N D S − ∫ v J ⋅ E D v

Es besagt, dass die Änderung der Energie des elektromagnetischen Feldes in einem bestimmten Bereich (linke Seite) entweder durch Fluss von geschehen kann S durch die Grenze dieses Bereichs oder durch Wechselwirkung eines elektrischen Felds mit elektrischem Strom, die wir Joulesche Wärme nennen . Wenn man den letzten Term vergisst, sieht man, dass sich der Poynting-Vektor so verhält, als wäre er wirklich eine Dichte des Energieflusses . In der Strömungsmechanik haben Sie genau dieselbe Gleichung, nur mit unterschiedlichen Variablen. Es ist die Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltungsgleichung):

D M D T = ∂ ∂ T ∫ v ρ D v = − ∮ ∂ v v ⋅ N D S

Und wir stützen die Terminologie des Flusstyps auf diese Analogie. Aber bei der Interpretation muss man immer aufpassen. Energie ist nichts Reales oder Materielles. Gleiches gilt für seinen Fluss. Energie ist eine Eigenschaft von Dingen. Aber das Denken in Energieflüssen (und die Verwendung von Poynting-Vektoren) hilft uns, das Problem in unserem Gehirn zu verstehen und besser zu visualisieren, und macht vielleicht verschiedene praktische Berechnungen hübscher.

Da ich die obige Frage nicht kommentieren kann, muss ich es hier tun: Lieber ganzewoort, vielleicht hätten Sie hier kommentieren sollen, anstatt Ihre Frage zu ändern und so die Chronologie der Beiträge zu stören. Inhaltlich hätten Sie meiner Antwort deutlich entnehmen können, dass ich Ihnen grundsätzlich zustimme. Der Pointing-Vektor ist in Ihrem Sinne rendundant. Allerdings ist im gleichen Sinne auch der Energieerhaltungssatz redundant, da er vollständig aus Maxwell-Gleichungen abgeleitet ist, also nichts Neues aussagt.
Energieerhaltung und der Satz von Poynting
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