Vektorpotential oszillierendes E-Feld des "Null"-Feldes eines Hertzschen Dipols?

Das Vektorpotential eines Hertzschen Dipols fällt kugelförmig ab 1 / R . Die Polachse des Dipols ist ein „Null“-Feld – also kein elektrisches und magnetisches Feld. Das Fehlen eines Magnetfelds ist deutlich genug, da es dort keine Kräuselung des Vektorpotentials gibt. Die Potentialbeschreibung des E-Feldes beinhaltet jedoch die Gleichung:

E = − ∇ Φ − ∂ A / ∂ T

was darauf hinzudeuten scheint, dass es im Fernfeld des Hertzschen Dipols ein oszillierendes elektrisches Feld geben wird – sogar in der „Null“ des Dipols, wo kein elektrisches Feld vorhanden sein sollte.

Da es in der "Null" keinen Poynting-Vektor gibt, kann ein dort platziertes Elektron natürlich nicht als Reaktion auf ein oszillierendes elektrisches Feld oszillieren, da lokal keine Energie verfügbar ist. Andernfalls würden wir auf eine Verletzung der Energieerhaltung oder eine Verletzung stoßen der Lokalität.

Wie wird dieses Rätsel gelöst?

Antworten (1)

Das Vektorpotential eines oszillierenden Dipols (unter Verwendung der üblichen elektrischen Dipolnäherung) kann geschrieben werden als

A → = μ 0 ICH 0 l 4 π R cos ⁡ ω ( T − R / C )   z ^ ,
wo der Dipol lang ist l , mit einem Strom ICH 0 cos ⁡ ω T Und z ^ ist ein Einheitsvektor entlang der z-Achse des Dipols.

Mit der Lorenz-Eichung kann man dann ein entsprechendes Skalarpotential berechnen

ϕ = μ 0 ICH 0 l C 2 cos ⁡ θ 4 π ( cos ⁡ ω ( T − R / C ) C R + Sünde ⁡ ω ( T − R / C ) ω R 2 ) ,
Wo θ ist der übliche Polarwinkel zur z-Achse.

Nun ist also das elektrische Feld gegeben durch

E → = − ∂ A → ∂ T − ∇ ϕ

Wenn Sie alle Terme verwerfen, die einen Nenner von haben R 2 oder höher vom rechten Term (dh betrachten Sie nur das Fernfeld), stellen Sie fest, dass der Gradient des Skalarpotentials nur eine radiale Komponente hat

E → ≃ μ 0 ICH 0 l ω 4 π R Sünde ⁡ ω ( T − R / C ) z ^ − μ 0 ICH 0 l ω cos ⁡ θ 4 π R Sünde ⁡ ω ( T − R / C ) R ^

Aber wenn θ = 0 (oder π ) entlang der z-Achse, dann R ^ ≡ z ^ und die beiden Terme heben sich auf und hinterlassen kein Fernfeld.

Ich überlege noch, ob es eine qualitativere Möglichkeit gibt, dies zu erklären.

Intuition: Um einen Dipol herzustellen, benötigt man zwei gleich große entgegengesetzte Ladungen, entlang der Achse kann es keine elektrische Feldkomponente ungleich Null geben; dies gilt sogar für sich bewegende/oszillierende Ladungen.
@ user51748 Die Frage ist, warum es entlang der Achse des Dipols ein ~ 0 E (t) gibt. Ein statisches Dipol-E-Feld geht als R − 3 und ist entlang der Achse ungleich Null.
Ich denke, Sie haben gerade meinen Punkt gemacht, 1 / R 3 strahlt Punkt.
@ user31748 Das statische Dipolfeld geht als R − 3 in alle Richtungen. Was ist Ihr Punkt?
Ich habe eine Webseite mit einer äquivalenten Formulierung gefunden, die für die Implementierung in wxMaxima geeignet war, und verifiziert, dass das, was Sie für wahr halten, zumindest im Grenzbereich des Fernfelds wahr ist. Ich akzeptiere Ihre Antwort, obwohl ich die Algebra nicht durchgeführt habe, um zu überprüfen, ob Ihre Formulierung genau äquivalent ist. (Siehe Gleichungen 1084 und 1087.) farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node94.html
@JamesBowery Es gilt nur im Fernfeld. Das nahe E-Feld ist entlang der Achse des Dipols ungleich Null.
Was ich hervorheben wollte, war, dass sogar das Ignorieren „der Begriffe, die einen Nenner von haben R 2 oder höher", kann ich die Frequenz auf 1 GHz und 10 m einstellen (normalerweise nicht als "Nahfeld" betrachtet), und es gibt immer noch eine erhebliche E-Feld-Oszillation. Ich werde wahrscheinlich eine weitere Frage diesbezüglich stellen, da ∇ × A fehlt bedeutet, dass es keinen E × H-Poynting-Vektor geben sollte, daher keine lokale Energie, sodass ein Elektron, das sich als Reaktion auf das sich ändernde E bewegt, die Energie- oder Lokalitätserhaltung verletzen würde.
@JamesBowery Das ist die gleiche Frage. Die Definition von "Nahfeld" ist jede Entfernung, die auch nur annähernd mit der Wellenlänge der Strahlung vergleichbar ist. 10m ist nicht wirklich ≫ 0,3 M. Es ist keine Unterbrechung; die "Fernfeldnäherung" ist genau das. Ich bin mir nicht sicher, was Sie meinen, wenn Sie meine Antwort an mich zitieren. Wenn Sie das tun, was das Zitat vorschlägt, dann ist das E-Feld genau Null, wie ich oben gezeigt habe. Meinst du irgendein Experiment?
Ich beziehe mich auf mein wxMaxima-Modell, das die Fernfeldauslöschung Ihrer Antwort von ∂A / ∂t durch ∇Φ entlang der Dipolachse (Nullfeld) bestätigt hat. Was ich tun muss, ist eine weitere Frage zum Nahfeld-Poynting-Vektor der Dipolachse zu stellen, da es nach meinem Verständnis selbst im Nahfeld kein ∇ × A auf dieser Achse gibt, daher kein E × H. Sie können antworten diese Frage, wenn ich es poste.
Hier ist die Folgefrage zur Nahfeldenergie. physical.stackexchange.com/questions/207399/…
Vektorpotential oszillierendes E-Feld des "Null"-Feldes eines Hertzschen Dipols?
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