Drehrichtung des Protons im Magnetfeld – entgegengesetzt zu einem Dipol

Die potentielle Energie sollte in diesem Fall sein$U=+\vec{m}.\vec{B}$, daher wird die potentielle Energie minimiert, wie es sein sollte. Hier ist die Erklärung:

Schauen wir uns die Ableitung der Wechselwirkungsenergie zwischen magnetischem Dipol und Magnetfeld genau an. Die Dipolenergie$U=-\vec{m}.\vec{B}$wird unter Verwendung des Prinzips der virtuellen Arbeit mit der Annahme abgeleitet, dass das Dipolmoment konstant ist und somit seine Eigenenergie permanent ist. Lässt man jedoch zu, dass sich das Dipolmoment wie in diesem Fall ändert, ist die Eigenenergie des Dipols nicht mehr dauerhaft. Wir können es uns so vorstellen$\frac{1}{2}LI^2$Energie für den Fall einer Stromschleife, wenn wir ihr Dipolmoment ändern, ändert sich auch ihre innere Energie. Für diesen Fall kann also die Eigenenergie in mechanische Energie extrahiert werden. Berücksichtigen wir die zusätzliche Arbeit zur Veränderung der Selbstenergie im Prinzip der virtuellen Arbeit, landen wir bei$U=+\vec{m}.\vec{B}$. Wir können die Arbeit immer kalkulieren$\int \tau d\theta$um die Ausrichtung des Dipols zu ändern. In diesem Fall ist das Dipolmoment jedoch nicht permanent, sodass seine Größe für verschiedene Ausrichtungen unterschiedlich sein wird. Daher wird die Arbeitsberechnung chaotisch, aber es gibt einen einfachen Weg, dies zu tun. Wir können eine Art "Batterie" verwenden, um das Dipolmoment konstant zu halten und die Arbeit damit zu berechnen$−\vec{m}.\vec{B}$. Am Ende des Vorgangs haben wir die gesamte von der Batterie abgegebene/gestohlene Energie zurückgestellt, was bedeutet, dass ich das Dipolmoment auf den Wert zurückgestellt habe, den es hätte haben sollen, wenn die Batterie nicht da gewesen wäre. Mit anderen Worten, ich werde alle Einflüsse der Batterie bereits los. Die von der Batterie geleistete Arbeit erweist sich als$(−2\vec{m}.\vec{B})$, dann bekommen wir

$U=-\vec{m}.\vec{B}-(-2\vec{m}.\vec{B})=+\vec{m}.\vec{B}$

Das Gleiche können wir auch bekommen$U=+\vec{m}.\vec{B}$Wenn wir die gesamte elektromagnetische Feldenergie berechnen, finden Sie einige Details zur Herleitung in meinem Blog:

http://emitabsorb.wordpress.com/2011/08/21/mb-or-mb/

Magnetfeld wirkt nicht auf ein Proton, wie definieren wir dann potentielle Energie?

Ja, die gesamte kinetische Energie des Systems bleibt erhalten, aber wir können sie in Teile aufteilen. Zum Beispiel können wir die kinetische Energie aufgrund von in einen Topf werfen$v_x$&$v_y$und gib ihm einen Namen sagen$U_1$. Der Wechsel ein$U_1$wird die Bewegung des Partikels beeinflussen$z$Richtung, also können wir das sagen$U_1$ist die potentielle Energie für$z$Richtung. In diesem Fall möchten wir die Tendenz der Winkelumdrehungsgeschwindigkeit des Protons kennen, sich mit dem Magnetfeld auszurichten oder entgegenzurichten, also haben wir einen Teil der kinetischen Energie und der Magnetfeldenergie in einen Topf geworfen. Als wie sie abgeleitet wird, kann diese Energie geschrieben werden als$\tau=-dU/d\theta$. Wenn also die konzentrierte Energie nicht minimal ist, gibt es ein Drehmoment senkrecht dazu$\vec{B}$.

Also warum verwenden wir nicht auch$U=+\vec{m}.\vec{B}$für den Fall des permanenten Dipols, da es sich um die tatsächliche Gesamtenergie mit bereits darin enthaltener Eigenenergie handelt?

Ja, es stimmt, dass die richtige Gesamtenergie ist$U=+\vec{m}.\vec{B}$. Aber in diesem Fall ist die potentielle Energie diejenige, die dazu neigt, sich selbst zu minimieren$U=-\vec{m}.\vec{B}$. Der Teil der Energie, der sich selbst minimieren kann, ist derjenige, der geschrieben werden kann als$F=-\nabla U$, das heißt, die Kraft wird auf jedes vom Potential betroffene Teilchen zu dem Ort streben, an dem es sich befindet$U$ist tiefer. Stellen Sie sich zum Beispiel ein System aus einer Erde und einem Mond vor, der sie umkreist. Dann wird die Erde plötzlich doppelt so groß wie zuvor bei gleicher Masse. Wir wissen, dass die potenzielle Energie der Eigengravitation der Erde verändert wird, aber es hinterlässt keine Auswirkung auf den Mond. In diesem Fall ist also die potentielle Eigengravitationsenergie der Erde keine potentielle Energie für den Mond.

Das einzige Problem, das im Fall des permanenten Dipols verbleibt, ist, dass neben dem$–\vec{m}.\vec{B}$Teil, der sich mit mechanischer Energie hin und her verändern kann, der Rest$+2\vec{m}.\vec{B}$(Ein Teil davon stammt von der Selbstenergie des Dipols und der Rest von der Selbstenergie der Konstante$\vec{B}$Feldversorger) ändert sich ebenfalls auf mysteriöse Weise, was bedeutet, dass die Energie nicht erhalten bleibt. Um das Energieerhaltungsprinzip zu retten, können wir immer eine neue Art von Energie erfinden, damit die$+2\vec{m}.\vec{B}$nicht fehlt oder frei erschaffen wird, sondern nur seine Form zwischen elektromagnetischer Energie und dieser neuen Energie ändert. Aber ich denke, es ist nicht notwendig, denn was ich getan habe, ist nicht, das Prinzip der Energieerhaltung zu schützen, sondern stattdessen die Interpretation der Feldenergie zu schützen. Eigentlich wird die Feldenergie auch zunächst nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit abgeleitet, aber in diesem Fall ist die Zunahme der gesamten Feldenergie nicht gleich der Abnahme der mechanischen Energie. Daher denke ich, dass die Feldenergieinterpretation für den Fall eines permanenten Dipols nicht mehr gültig ist. Wenn wir bei der Definition bleiben$F=-\nabla U$, würden diese Schwierigkeiten nie auftreten.

Ich bin kein Experte für Elektromagnetismus, aber wenn einer meiner Studenten (Allgemeine Physik, BSc-Niveau) fragen würde, würde ich Folgendes sagen: Das rotierende Proton erzeugt tatsächlich ein Magnetfeld und verhält sich für diese Zwecke wie ein magnetischer Dipol (und in ausreichend großen Abständen). Dies betrifft jedoch nur das von diesem Proton erzeugte Feld und seine Wechselwirkung dieses Protons mit anderen Teilchen in großer Entfernung. Die Wechselwirkungsenergie zwischen Magnetfeld und Proton kann nicht als beschrieben werden$-\vec M\cdot \vec B$, weil dieser Ausdruck die Energie eines Punktdipols ist, was unser System nicht ist. Es ist, als würden Sie das Drehmoment von etwas berechnen, das kein starrer Festkörper ist, es gilt einfach nicht.

Hier sind meine ursprünglichen Auflösungen des Paradoxons.

Wenn man sich die andere Antwort ansieht, ist dies höchstwahrscheinlich falsch, aber ich werde sie der Vollständigkeit halber posten. Außerdem wird es betonen, was ich vermutet hatte: mehrere Lösungen für ein Paradoxon.

• Das Magnetfeld wirkt nicht auf ein Proton, daher gibt es kein PE und die ganze Diskussion ist umstritten. Beachten Sie, dass dies falsch sein kann, da das Proton selbst das lokale Magnetfeld beeinflusst.

• Ein Proton, das UCM durchführt, kann nicht als Stromschleife bezeichnet werden. In einer Stromschleife haben wir zu jedem Zeitpunkt bewegliche Ladungen auf jeder Seite. Dies gibt uns ein Paar. Hier gibt es kein solches Paar.

Das Argument der minimalen potentiellen Energie ist hier nicht anwendbar, da es nur für konservative Kräfte funktioniert. Betrachten Sie Lagrange$L=T(\dot q_i)-U(q_i)$mit$q_i$einige verallgemeinerte Koordinaten sind. Normalerweise nimmt man an, dass jede Bewegung die dissipativen Kräfte verringert$\dot q_i$mit der Zeit, und daher der Begriff$T(\dot q_i)$. Lagrange-Gleichungen dann abgelesen$\dfrac{\partial U}{\partial q_i}=0$und eine Betrachtung, wie sich das System diesem Punkt nähert, wird zeigen, dass es sich um ein lokales Minimum handelt. Das Prinzip ist übrigens besonders schön, weil es vielseitig in der Wahl ist$q_i$.

Betrachten Sie nun das Proton. Seine lagrangianische Funktion ist$L=\dfrac{m v^2}{2}+\dfrac{e}{c}{\bf A}{\bf v}$. Potentielle Energie kann hier entweder sein:

1) Als Null betrachtet. Dann ist jeder Zustand der minimale Energiezustand.

2) Angeblich$-\dfrac{e}{c}{\bf A}{\bf v}$. Dann ist das System nicht konservativ und das Argument trifft nicht zu.

Daher das Energieargument$U\rightarrow U_\min$sagt nichts über den Zustand aus, in dem sich das System befinden soll.

Wenn Sie zur Formulierung des magnetischen Moments wechseln, verwenden Sie Lagrange$L=\dfrac{m v^2}{2}+{\bf m}{\bf H}$. Implizite Annahme über${\bf m}$Festgelegt zu sein, lässt erwarten, dass das System nach ausreichender Ableitung erreichen würde${\bf m}{\bf H}=-|{\bf m}{\bf H}|$. Stattdessen würde das System, von Lagrange aus gesehen, den Zustand nur trivial erreichen${\bf v}=0$und daher${\bf m}=0$.

Zusammenfassend ergibt sich das Paradox aus der Anwendung$U\rightarrow U_\min$und davon ausgehen${\bf m}$Konstante für die Dipolbeschreibung.

1) Die Antwort von F'x ist falsch, es gibt definitiv ein magnetisches Dipolmoment (und es gibt hier keine Eigenenergie seines Moments mit seinem eigenen Magnetfeld), und es zeigt tatsächlich nach unten. Das Proton beschleunigt jedoch in seiner Zyklotronbewegung, induziert Strahlung und verbraucht somit die Energie, was dieses Paradoxon versöhnt.

2) Alexeys Antwort ist fehlerhaft, weil sein Lagrange nicht die volle Dynamik berücksichtigt. Er argumentiert auch, dass sein Lagrange-System nicht konserviert ist (aber es ist in seinem Posten).

3) Die Schlüsselantwort auf die Antwort von Emitabsorb:
$U=-m\cdot B$ist das Interaktionspotential von einem Moment in einem Feld; es schließt nur die Arbeit ein, die geleistet wird, um a priori ein permanentes magnetisches Moment in dem Feld zu etablieren. Es beinhaltet jedoch nicht die Arbeit, die geleistet wird, um das magnetische Moment zu erzeugen und es dauerhaft zu halten. Wenn wir diese zusätzliche Arbeit einbeziehen, wird die Gesamtenergie des Systems$U=+\bar{m}\cdot \bar{B}$. Aber Sie möchten immer noch nur das Interaktionspotential minimieren (dies wird in Jacksons klassischem EM-Lehrbuch, S. 190 + S. 214 erklärt). JEDOCH haben wir hier angenommen, dass Sie zuerst einen Moment Zeit hatten$m$unabhängig von jeglichen Magnetfeldern, und dann in gebracht$B$. Das trifft auf unser Szenario einfach nicht zu... schreibt man die Lagrange-Funktion für ein Proton in einem Magnetfeld auf, gibt es kein Wechselwirkungspotential$\pm m\cdot B$das erscheint (weil es keinen a priori festgelegten Moment gibt); es ist einfach$\mathcal{L}=\frac{1}{2}m_0v^2-\frac{e}{c}\bar{v}\cdot \bar{A}$. Dieser Absatz, gepaart mit meiner Beschleunigungsbemerkung, löst das Paradoxon auf!!!

Meine Beschleunigungs-Anmerkung:
Sie versuchen tatsächlich, eine quasistatische Lösung für dieses Problem in Betracht zu ziehen, ohne die volle Dynamik zu berücksichtigen. Das Proton kreist und erzeugt Zyklotronstrahlung, wodurch seine Bewegung gedämpft wird (dh Strahlungsdämpfung). Sie können einen Lagrange bilden, um dies zu handhaben, und es wird eine minimale potenzielle Energie erreicht.