Zweifel an der Wechselwirkungsenergie des Dipols in einem elektrischen Feld

Betrachten Sie einen Dipol ($\vec{p}$) in einem elektrischen Feld ($\vec E$) einen Winkel machen$\theta$mit dem Feld.

Wir können das sehen$V_1-V_2=Ed\cos\theta$
In Büchern wird die Herleitung für die Wechselwirkungsenergie des Dipols angegeben als

Interaktionsenergie,$U=-qV_1+qV_2$
$\implies U=-q(V_1-V_2)$
$\implies U=-qEdcos\theta$
$\implies U=-pEcos\theta$
$Hence, U=-\vec{p}.\vec{E}$

Wir wissen, dass die Wechselwirkungsenergie des Dipols per Definition die Arbeit bedeutet, die der externe Agent beim Zusammenbau des Dipols im elektrischen Feld verrichtet.
Angenommen, es gibt ein gleichmäßiges elektrisches Feld$\vec{E}$Im Weltall.
Die Arbeit, die beim Platzieren der Ladung geleistet wird$-q_1$an der Position, wo Potential aufgrund des elektrischen Feldes ist$V_!$Ist$-qV_1$
Die Arbeit, die beim Platzieren der Ladung geleistet wird$+q$auf Abstand$d$aus$-q$im Winkel aufladen$\theta$mit elektrischem Feld ist$q$(Potenzial durch elektrisches Feld + Potential durch -q)
Verrichtete Arbeit beim Platzieren$+q$Gebühr ist$q(V_2-\frac{kq_1}{d}$.
Also, Netto-Wechselwirkungsenergie,$U=$Bei der Platzierung durchgeführte Arbeiten$-q$Und$+q$Ladung im elektrischen Feld$E$.
$\implies U=-qV_1+qV_2-\frac{kq_1}{d}$
$\implies U=-q(V_1-V_2)-\frac{kq_1}{d}$
$\implies U=-\vec{p}.\vec{E}-\frac{kq_1}{d}$

Ich kann nicht verstehen, warum ich extra bekomme$-\frac{kq_1}{d}$Begriff ein$U$. Wenn wir uns an die grundlegende Definition von Interaktionsenergie halten, dann bekomme ich einen anderen Ausdruck als in Büchern.
Warum ist das so? Was ist der Fehler in meiner Ableitung.
Bitte klären Sie den Zweifel.