Elektrisches Feld im Weltraum, das durch Schnittpunkt von Ladungskugeln entsteht [geschlossen]

Ich versuche, das elektrische Feld im Raum zu berechnen, das von einem Körper erzeugt wird, der durch die Überschneidung von 2 Kugeln zusammengesetzt ist. Die obere Sphäre, ihr Zentrum liegt bei

D 2 z ^
mit Radius R und die zweite ist zentriert bei
− D 2 z ^
mit Radius R . Der Schnittbereich ist neutral, während der obere Bereich mit konstanter Dichte beladen ist ρ und der untere Bereich ist mit Dichte aufgeladen − ρ .

Ich habe das Volumen des Schnittbereichs berechnet,

v = π 12 ( 16 R 3 − 4 R 2 D − D 3 )
, was Sinn macht, weil wenn
D → 0
(die Sphären fallen zusammen) dann
v ≈ π 12 ⋅ 16 R 3 = 4 π R 3 3
das ist das Volumen einer einzelnen Kugel.

Dann behandelte ich die Ladung jeder Kugel als Überlagerung einer ganzen aufgeladenen Kugel ρ (oder − ρ bzw.) und dem Schnittbereich mit der entgegengesetzten Ladung.

Wie erwartet ist die Gesamtladung des unteren Bereichs der Gesamtladung des oberen Bereichs entgegengesetzt, d. h

Q 1 = ρ ⋅ 4 3 π ( R 2 D + D 3 4 ) , Q 2 = − ρ ⋅ 4 3 π ( R 2 D + D 3 4 )
.

Dann habe ich wieder Superposition verwendet, um das Feld überall im Raum zu berechnen:

  • Innerhalb des Schnittbereichs: Ich habe die Formel eines Feldes verwendet, das in einer geladenen Kugel erzeugt wird, und das herausgefunden

    E → ich N ( P ) = k Q 1 ( R → P − D 2 z ^ ) R 3 − k Q 1 ( R → P + D 2 z ^ ) R 3 = − k Q 1 D R 3 z ^ = − D ρ 12 ε 0 ( D R + D 3 4 R 3 ) z ^

  • Innerhalb der oberen geladenen Region: Ich habe die gleiche Formel für ein Feld innerhalb einer geladenen Kugel verwendet, plus die Tatsache, dass das Feld, das eine Kugel außerhalb ihrer Region induziert, wie eine Punktladung ist. Nach der Berechnung habe ich das bekommen

    E → ich N + ( P ) = D ρ 12 ε 0 ( D R + D 3 4 R 3 ) ( R → P − D 2 z ^ − R 3 R → P + D 2 z ^ | R → P + D 2 z ^ | 3 )
    .

  • Innerhalb der niedriger aufgeladenen Region: Aus denselben Gründen habe ich:

    E → ich N − ( P ) = D ρ 12 ε 0 ( D R + D 3 4 R 3 ) ( R → P + D 2 z ^ − R 3 R → P − D 2 z ^ | R → P − D 2 z ^ | 3 )

  • Außen: Ich benutze die Tatsache, dass beide Kugeln wie eine Punktladung wirken, und habe:

    ρ 12 ε 0 ( R 2 D + D 3 4 ) ( R → P − D 2 z ^ | R → P − D 2 z ^ | 3 − R → P + D 2 z ^ | R → P + D 2 z ^ | 3 )

Meine Frage ist, ist das in Ordnung?

Und außerdem soll ich einen Ausdruck für das Feld außerhalb des Körpers an der Grenze schreiben R >> D , aber ich kann anscheinend nicht die Intuition für das Ergebnis bekommen, das ich annehmen soll.

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Antworten (1)

Erstens, als Sie Ihr Volume gefunden haben, sieht es so aus, als hätten Sie ein Zeichen übersehen. In meiner letzten Integration vorbei ϕ , Ich hatte

4 π 3 ∫ 0 ϕ D ϕ R 3 Sünde ⁡ ϕ − D 3 Sünde ⁡ ϕ 8 cos 3 ⁡ ϕ ⇒
4 π 3 [ − R 3 cos ⁡ ϕ − D 3 16 cos 2 ⁡ ϕ ] 0 cos ⁡ ϕ = D 2 R .
Wenn Sie das Vorzeichen auf den zweiten Term schalten, sieht es so aus, als ob die Antwort herausspringt, die Sie erhalten haben.

Zweitens haben Sie sich das Problem tatsächlich sehr schwer gemacht, indem Sie das Superpositionsprinzip leicht missbraucht haben. Wenn Sie zwei entgegengesetzte Ladungsdichten übereinander legen, heben sich die von ihnen erzeugten elektrischen Felder auf natürliche Weise auf und es entsteht eine Situation, die einer ladungslosen Region entspricht.

Das Problem bei Ihrer Ableitung ist, dass Sie die überlagerten Zustände und den Endzustand verwechseln. Betrachten Sie als Beispiel die Ladung, die Sie außerhalb der beiden Sphären berechnen. Sie verwenden die Formel für das elektrische Feld außerhalb einer vollkommen gleichförmigen Kugel, E → = Q ϵ 0 R 2 . Aber dann nimmst du Q = ρ v und für v Stecken Sie das Volumen der Ladung in die endgültige Konfiguration, wobei ein Stück fehlt. Das elektrische Feld einer Kugel mit einem fehlenden Brocken ist jedoch nicht einfach E → = Q ϵ 0 R 2 . Mit dem fehlenden Stück haben Sie die sphärische Symmetrie vollständig verloren, die es Ihnen ermöglicht hat, das einfache Feld abzuleiten.

Um das Feld außerhalb der beiden Kugeln zu berechnen, verwenden Sie direkt die volle Ladung auf einer Kugelverteilung Q =   4 π R 3 ρ 3 anstatt Q = ρ 4 π 3 ( R 2 D + D 3 4 ) . Der Rest Ihrer Amtszeit sieht gut aus. Wenn D klein genug ist und die beiden Kugeln zufällig überlappen, dann garantiert das Überlagerungsprinzip, dass überall dort, wo sich die Kugeln überlappen, das elektrische Feld von diesen überlappenden Teilen vollständig aufgehoben wird, weil sie gleiche und entgegengesetzte Ladungen tragen. Es erledigt sich von selbst, ohne dass Sie sich darum kümmern müssen, die sich überschneidende Ladung manuell zu berechnen, indem Sie die Volumina berechnen.

Das gleiche Prinzip gilt für die Berechnung des elektrischen Feldes innerhalb der Kugeln. Es ist eigentlich viel einfacher als das, was Sie geschrieben haben.

Ich habe den Teil nicht verstanden, den Sie sagten, dass ich die gesamte Kugel für meine Ladung verwenden sollte, um das Feld draußen zu berechnen. Warum sollte ich verwenden Q = ρ 4 3 π R 3 ?
Die beiden Formen, die Sie überlagern möchten, sind eine positive Kugel bei d/2 und eine negative Kugel bei -d/2. Diese beiden Kugeln haben keine Löcher in sich. Um das Feld und die verschiedenen Punkte in diesen beiden Situationen zu finden, müssen Sie die volle Ladung einer Kugel verwenden. In der endgültigen Konfiguration hat jeder Bereich, in dem sich beide Sphären überlappen, aufgrund der Überlagerung natürlich keine Ladung, da ρ + − ρ = 0 . Sie müssen nichts Besonderes tun, damit sich die überlappenden Abschnitte aufheben.
Elektrisches Feld im Weltraum, das durch Schnittpunkt von Ladungskugeln entsteht [geschlossen]
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