Kraft von Punktladung auf perfekten Dipol

Question

Kraft von Punktladung auf perfekten Dipol

einzigartig

Haben Sie eine Punktladung und einen perfekten Dipol $\vec{p}$ ein Abstand $r$ weg. Winkel dazwischen $\vec{p}$ Und $\hat{r}$ Ist $\theta$ . Willst du Kraft auf Dipol finden.

Ich habe mehr als ein bisschen Schwierigkeiten zu erkennen, wo ich falsch liege. Wenn ich dieses Problem in kartesischen Koordinaten mache, bekomme ich die richtige Antwort, also verstehe ich anscheinend nichts über sphärische Koordinaten.

Wir haben $F = q\Delta E$ für Dipole in einem inhomogenen elektrischen Feld. Wenn $d$ in Dipol ist klein, dann kann ich verwenden

Δ E \approx \nabla E \cdot Δ \vec{R}

$\Delta E \approx \nabla E \cdot \Delta\vec{r}$

Unten leite ich den Ausdruck in Kugelkoordinaten ab.

Also zunächst mal

E = \frac{Q}{4 π ϵ_{0} R^{2}} \hat{R}

$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \hat{r}$

So

E_{R} = \frac{Q}{4 π ϵ_{0} R^{2}}

$E_r = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$

Und

Δ E_{R} = \nabla E_{R} \cdot Δ \vec{R}

$\Delta E_r = \nabla E_r \cdot \Delta \vec{r}$

Wo $\Delta \vec{r} = \bigl(\Delta r, r\Delta \theta, r\sin\theta\Delta \phi \bigr)$ .

\nabla E_{R} = (\frac{- 2 Q}{4 π ϵ_{0} R^{3}}, 0, 0)

$\nabla E_r = \biggl(\frac{-2q}{4 \pi \epsilon_0 r^3},0,0\biggr)$

Deshalb,

Q Δ E_{R} = \frac{- 2 Q P \cos θ}{4 π ϵ_{0} R^{3}}

$q\Delta E_r = \frac{-2qp\cos\theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3}$

Und

Δ E_{θ} = Δ E_{ϕ} = 0

$\Delta E_{\theta} = \Delta E_{\phi} = 0$

als $E_{\theta} = E_{\phi} = 0$ .

So

F = Q Δ E_{R} = \frac{- 2 Q P \cos θ}{4 π ϵ_{0} R^{3}} \hat{R}

$F = q\Delta E_r = \frac{-2qp\cos\theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \hat{r}$

Aber sollte sein

F = \frac{- 2 Q P \cos θ}{4 π ϵ_{0} R^{3}} \hat{R} - \frac{Q P Sünde θ}{4 π ϵ_{0} R^{3}} \hat{θ}

$F = \frac{-2qp\cos\theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \hat{r} - \frac{qp\sin\theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \hat{\theta}$

So $\Delta E_{\theta}$ muss ungleich Null sein, aber ich sehe nicht wie.

yoBS

Die allgemeine Formel für die Kraft lautet, wie Sie richtig angegeben haben

F = q Δ E

$F=q\Delta E$ , die praktischerweise in geometrischer Form als Skalarprodukt geschrieben wird

\vec{F} = \vec{\nabla} \vec{E} \cdot Q Δ \vec{R} = \vec{\nabla} \vec{E} \cdot \vec{P}

$\vec F=\vec\nabla\vec E \cdot q\Delta\vec r =\vec \nabla\vec E \cdot\vec P$ Beachten Sie, dass

\vec{\nabla} \vec{E}

$\vec\nabla\vec E$ ist eine Matrix. Wenn Sie jedoch in einem anderen Koordinatensystem arbeiten, wird der Farbverlauf

\vec{\nabla}

$\vec \nabla$ sind nicht mehr die einfachen Ausdrücke, die Sie gewohnt sind. Sie können die Formel dafür herleiten, indem Sie den Ausdruck differenzieren

\vec{E} = E_{R} \hat{R} + E_{ϕ} \hat{ϕ} + E_{θ} \hat{θ}

$\vec E=E_r\hat r+E_\phi \hat \phi+E_\theta\hat\theta$ und denken Sie daran, dass die Einheitsvektoren auch ortsabhängig sind.

Antworten (1)

Kraft von Punktladung auf perfekten Dipol

Die allgemeine Formel für die Kraft lautet, wie Sie richtig angegeben haben $F=q\Delta E$ , die praktischerweise in geometrischer Form als Skalarprodukt geschrieben wird $\vec{F} = \vec{\nabla} \vec{E} \cdot Q Δ \vec{R} = \vec{\nabla} \vec{E} \cdot \vec{P}$ $\vec F=\vec\nabla\vec E \cdot q\Delta\vec r =\vec \nabla\vec E \cdot\vec P$ Beachten Sie, dass $\vec\nabla\vec E$ ist eine Matrix. Wenn Sie jedoch in einem anderen Koordinatensystem arbeiten, wird der Farbverlauf $\vec \nabla$ sind nicht mehr die einfachen Ausdrücke, die Sie gewohnt sind. Sie können die Formel dafür herleiten, indem Sie den Ausdruck differenzieren $\vec{E} = E_{R} \hat{R} + E_{ϕ} \hat{ϕ} + E_{θ} \hat{θ}$ $\vec E=E_r\hat r+E_\phi \hat \phi+E_\theta\hat\theta$ und denken Sie daran, dass die Einheitsvektoren auch ortsabhängig sind.

Maxim Zholudev · Answer 1

Die auf einen Punktdipol mit Dipolimpuls ausgeübte Kraft $\vec{p}$ Ist

\vec{F} = (\vec{P} \cdot \vec{\nabla}) \vec{E}

$\vec{F} = (\vec{p} \cdot \vec\nabla) \vec{E}$ In kartesischen Koordinaten also

F_{ich} = \sum_{J} P_{J} \frac{\partial}{\partial X_{J}} E_{ich}

$F_i = \sum_j p_j \frac{\partial}{\partial x_j} E_i$ Aber in sphärischen Koordinaten ist es nicht dasselbe.

Es gibt keine Feldkomponenten entlang $\vec{\theta}$ , aber es gibt einen Gradienten von Feldkomponenten entlang dieser Richtung, da sich die Richtung des Vektors ändert.

Um diesen Ausdruck in Kugelkoordinaten umzuwandeln, sollte man die Tensoranalyse verwenden.

In allen folgenden Ausdrücken wird die Summation über sich wiederholende Indizes angenommen.

T_{T}^{J ich} = P^{J} \frac{\partial}{\partial X^{T}} E^{ich}

$T^{\;ji}_t = p^j \frac{\partial}{\partial x^t} E^i$

F^{ich} = T_{T}^{J ich} δ_{J}^{T}

$F^{\;i} = T^{\;ji}_t \delta^t_j$ Seien kartesische Koordinaten

x^{1}, x^{2}, x^{3}

$x^1, x^2, x^3$ und Kugelkoordinaten sein

y^{1}, y^{2}, y^{3}

$y^1, y^2, y^3$ , Dann

T_{T^{'}}^{' J^{'} {ich}^{'}} (j) = \frac{\partial j^{J^{'}}}{\partial X^{J}} \frac{\partial j^{{ich}^{'}}}{\partial X^{ich}} \frac{\partial X^{T}}{\partial j^{T^{'}}} T_{T}^{J ich} (X (j))

$T{\,}'^{j'i'}_{t'}(y) = \frac{\partial y^{j'}}{\partial x^j} \frac{\partial y^{i'}}{\partial x^i} \frac{\partial x^t}{\partial y^{t'}} T^{\;ji}_{t}\bigl(x(y)\bigr)$

Man sollte die Kraft in Kugelkoordinaten berechnen als

F^{ich} = T_{T}^{' J ich} (j) δ_{J}^{T} (richtig)

$F^{\,i} = T{\,}'^{ji}_{t}(y) \delta^t_j \quad \text{(correct)}$ während Sie den Tensor ohne Prime verwendet haben, dh

F^{ich} = T_{T}^{J ich} (j) δ_{J}^{T} (falsch)

$F^{\,i} = T{\,}^{ji}_{t}(y) \delta^t_j \quad \text{(wrong)}$

Ihre Antwort ist richtig, aber in der Praxis für sein Problem denke ich, dass die Lösung im Kommentar schneller ist. In Ihrer allgemeinen Lösung müssen Sie alle Ableitungen von sphärischen Koordinaten in Bezug auf kartesische und umgekehrt haben, was nicht einfach ist - oder zumindest schnell!

Kraft von Punktladung auf perfekten Dipol

einzigartig

yoBS

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Maxim Zholudev

HerrBrody

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