Berechnung des elektrischen Potentials in Zylinderkoordinaten aus konstantem E-Feld

Question

Berechnung des elektrischen Potentials in Zylinderkoordinaten aus konstantem E-Feld

Amagisch Fischig

Ich habe so viel Mühe mit diesem Problem. Ich habe das Gefühl, ich sollte es nicht sein, aber ich bin es.

Ein einheitliches elektrisches Feld, $\vec{E} = E_0\hat{x}$ . Wie groß ist das Potenzial, ausgedrückt in Zylinderkoordinaten, $V(s,\phi,z)$ ?

Ich habe gestern eine diesbezügliche Frage gestellt und eine solide Antwort erhalten, aber wenn ich Dinge ausführe, macht es physikalisch immer noch keinen Sinn (obwohl ich nach ein wenig Studium jetzt das Gradiententheorem verstehe) .

Wir wissen das:

\vec{E} = E_{0} \hat{X} = - \nabla v ⟹ - \int_{C [X_{0}, X]} E_{0} \hat{X} \cdot D l = v (X) - v (X_{0})

$\vec{E} = E_0\hat{x} = -\nabla V \implies -\int_{C[x_0,x]} E_0\hat{x}\cdot dl = V(x) - V(x_0)$ Da das elektrische Feld nur Quantität in der hat

\hat{x}

$\hat{x}$ Richtung, in die das Skalarprodukt innerhalb des Integrals kommt

E_{0} d x

$E_0~dx$ , geben uns:

E_{0} (X_{0} - X) = v (X) - v (X_{0})

$E_0(x_0 - x) = V(x) - V(x_0)$ Nun, das macht Sinn. Da das elektrische Feld ein konservatives ist, sollte der Weg, den wir einschlagen, von keiner anderen Variablen abhängen, außer

x

$x$ . Wenn wir einziehen

y

$y$ Richtung und einige

z

$z$ Richtung, wird es keine Potentialänderung geben.

Lassen $V(x_0) = 0$ sei unser Bezugspunkt, also:

v (X) = E_{0} (X_{0} - X)

$V(x) = E_0(x_0 - x)$ Bisher (glaube ich) scheint das alles in Ordnung und gut zu sein. Den Grund lege ich nicht fest

E_{0} x_{0}

$E_0x_0$ Null ist, weil es keine gibt

1 / x

$1/x$ Begriff; sonst hätte ich den bezugspunkt machen können

x = \infty

$x=\infty$ , und die Dinge würden sich gut aufheben.

Jetzt versuche ich, in Zylinderkoordinaten umzuwandeln. Wir wissen:

R = \sqrt{X^{2} + j^{2} + z^{2}} = \sqrt{X^{2}} = X θ = {bräunen}^{- 1} \frac{j}{X} = 0 z = 0

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2} = x \\ \theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}} = 0 \\ z = 0$

So $V(r) = E_0(r_0 - r)$

Aber... das ergibt keinen Sinn. Mit dieser potenziellen Funktion bewegen $r$ -Entfernung in der $-x$ Richtung gibt Ihnen das gleiche Potenzial wie Bewegung $r$ -Entfernung im Positiven $x$ Richtung (was Ihnen das gleiche Potenzial gibt wie eine Bewegung $r$ -Entfernung in der $y$ Richtung sogar seit $r$ ist nur eine radiale Entfernung von, sagen wir, der $z$ -Achse.

Ich mache etwas schrecklich falsch und ich habe keine Ahnung, was es ist, haha.

Guru

Wenn Sie y und z als Null setzen, bedeutet dies, dass Sie nur Punkte auf der x-Achse betrachten.

Amagisch Fischig

@guru Einerseits sehe ich: Alles ist richtig, bis ich dazu komme

\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{x^{2}}

$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2}$ weil ich setze

y

$y$ Und

z

$z$ bis Null. Aber... sind sie nicht null, wenn es um das E-Feld geht?

ticster

@AmagicalFishy Sie sagen, Sie möchten in zylindrischen Koordinaten arbeiten, aber dann verwenden Sie die Definition von

r

$r$ das bezieht sich auf sphärische Koordinaten. In Zylinderkoordinaten

r

$r$ (oder

ρ

$\rho$ wie es normalerweise bezeichnet wird) gerecht ist

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

$\sqrt{x^2 + y^2}$ . Das sollte helfen.

ticster

@AmagicalFishy Du bringst Dinge durcheinander, wenn du sagst "

\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{x^{2}}

$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2}$ weil ich y und z auf Null setze". Nur weil Ihr physikalisches System eine gewisse Symmetrie hat, bedeutet das nicht, dass sich Ihr Koordinatensystem auf magische Weise ändert.

y

$y$ Und

z

$z$ sind nicht

0

$0$ nur weil sie dir egal sind.

Antworten (3)

Berechnung des elektrischen Potentials in Zylinderkoordinaten aus konstantem E-Feld

Wenn Sie y und z als Null setzen, bedeutet dies, dass Sie nur Punkte auf der x-Achse betrachten.
@guru Einerseits sehe ich: Alles ist richtig, bis ich dazu komme $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2}$ weil ich setze $y$ Und $z$ bis Null. Aber... sind sie nicht null, wenn es um das E-Feld geht?
@AmagicalFishy Sie sagen, Sie möchten in zylindrischen Koordinaten arbeiten, aber dann verwenden Sie die Definition von $r$ das bezieht sich auf sphärische Koordinaten. In Zylinderkoordinaten $r$ (oder $\rho$ wie es normalerweise bezeichnet wird) gerecht ist $\sqrt{x^2 + y^2}$ . Das sollte helfen.
@AmagicalFishy Du bringst Dinge durcheinander, wenn du sagst " $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2}$ weil ich y und z auf Null setze". Nur weil Ihr physikalisches System eine gewisse Symmetrie hat, bedeutet das nicht, dass sich Ihr Koordinatensystem auf magische Weise ändert. $y$ Und $z$ sind nicht $0$ nur weil sie dir egal sind.

Schalter · Answer 1

Nehmen wir an, Sie kennen bereits das Potenzial in kartesischen Koordinaten:

$V(x,y,z)$ mit $\vec E(x,y,z)=-\nabla V(x,y,z)$ .

Jetzt müssen Sie nur noch x,y,z durch Ihre Zylinderkoordinaten ersetzen:

$x=r cos(\alpha)$

$y=r sin(\alpha)$

$z=z$

Was dazu führt $V'(r,\alpha,z)=V(r cos(\alpha), rsin(\alpha), z)$ mit $V'$ wobei das Potential in Zylinderkoordinaten ist.

Wenn Sie die bekommen möchten $\vec E$ -Feld in Zylinderkoordinaten Sie müssen nur die zylindrische Version des Farbverlaufs verwenden:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Ich hoffe, diese Antwort konnte Ihnen helfen.

Alles Gute!

Er fragt nicht nach dem E-Feld, er will nur das Potential in Zylinderkoordinaten. Die Antwort starrt ihm tatsächlich direkt ins Gesicht.

ticster · Answer 2

Sie sind der Antwort so nahe, dass ich nicht sicher bin, wie ich Sie anstupsen soll, ohne Ihnen im Grunde nur die Antwort zu geben. Ich werde es trotzdem versuchen. Es gibt einige beunruhigende konzeptionelle Fehler, die Sie in einer ansonsten einfachen Ableitung gemacht haben.

Für Starter :

Den Grund lege ich nicht fest $E_0 x_0$ Null ist, weil es keine gibt $1/x$ Begriff; sonst hätte ich den bezugspunkt machen können $x=\infty$ , und die Dinge würden sich gut aufheben.

Dieses Argument macht keinen Sinn. Das einzige, was Sie einstellen können, ist der Punkt $\vec{r}$ bei welchem $V(\vec{r})$ Ist $0$ , was in Ihrem Fall, wie Sie zu Recht betonen, auf eine Auswahl von hinausläuft $x_0$ . Sie können nicht einstellen $E_0 x_0$ zu allem, es ist nur ein Produkt von Zahlen, also können Sie genauso gut wählen $x_0 = 0$ Dinge zu vereinfachen. Ihr Potenzial in kartesischen Koordinaten wird dann zu:

v (X, j, z) = v (X) = - E_{0} X

$V(x,y,z) = V(x) = - E_0 x$

Jetzt möchten Sie dies aus irgendeinem Grund in Zylinderkoordinaten umwandeln. An diesem Punkt sind Sie rückwärts vorgegangen. Sie haben sich die Formeln zum Konvertieren von Zylinderkoordinaten in kartesische Koordinaten angesehen und nicht umgekehrt. Auch wenn dieser Schritt nutzlos ist, sollten Sie darauf hinweisen, dass Sie dies auf zwei Ebenen völlig falsch gemacht haben:

Erstens ist die radiale Koordinate in Zylinderkoordinaten $s = \sqrt{x^2 + y^2}$ . Da ist kein $z$ Begriff beteiligt.

Zweitens, nur weil Ihr physikalisches System eine gewisse Symmetrie hat, bedeutet das nicht, dass sich Ihr Koordinatensystem auf magische Weise ändert. $y$ Und $z$ sind nicht $0$ nur weil sie dir egal sind. Sie können sich entscheiden, an der Linie zu arbeiten $y = z = 0$ , aber das ist anders als das, was Sie getan haben. Sie scheinen den Eindruck zu haben, dass dies bei allen Koordinaten der Fall ist, sogar bei Nicht-Null $y$ Und $z$ , wir haben $y = z = 0$ , was einfach Unsinn ist.

Lassen Sie uns abschließend einen Blick auf die Transformationen werfen, die Sie benötigen , nämlich diejenigen, die kartesische Koordinaten in zylindrische umwandeln. In der Tat, weil Ihr Potenzial nur davon abhängt $x$ , brauchen wir nur eine Formel :

X = S \cos ϕ

$x = s \cos \phi$

Ich werde die Antwort nicht für Sie aufschreiben, aber Sie haben jetzt alles, was Sie wissen müssen. Sie haben einen Ausdruck für $V$ in kartesischen Koordinaten und die Formel, die kartesische Koordinaten in zylindrische umwandelt. Ich hoffe, ich muss es nicht noch weiter aussprechen.

Jim Haddoc · Answer 3

Das hast du angenommen $y=0$ Und $z=0$ Wenn Sie die folgenden Schritte ausgeführt haben,

R = \sqrt{X^{2} + j^{2} + z^{2}} = \sqrt{X^{2}} = X

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2} = x$ Als Ergebnis betrachten Sie jetzt alle Punkte, die Formkoordinaten haben

(x, 0, 0)

$(x,0,0)$ das heißt, die x-Achse. Sie können das Potential also an keinem anderen Punkt als den auf der x-Achse finden, indem Sie Ihre Potentialformel in Zylinderkoordinaten verwenden.

Wenn Sie das allgemeine Potential in Zylinderkoordinaten finden möchten, müssen Sie die folgende Transformation verwenden:

X = R \cos (ϕ)

$x=r\cos(\phi)$

⟹ v (R, ϕ, z) = E_{0} (X_{0} - R \cos (ϕ))

$\Longrightarrow V(r,\phi,z) = E_0(x_0 - r\cos(\phi))$ Welches ist die korrekte Form des Potentials in Zylinderkoordinaten?

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