Elektrische Energie aus Dipolmoment

Herkömmlicherweise definiert man elektrische Energie als

$$U = \frac{1}{2} \int \vec{E}(r') \cdot \vec{E}(r') d^3 x'$$ Wo$\vec{E}$ist ein elektrisches Feld.

Und aus Lehrbüchern wie Griffith wissen wir, dass das durch Dipole erzeugte elektrische Feld angegeben ist als

$$\vec{E}_{dipole}(r) = \frac{1}{4\pi} \frac{1}{r^3}(3 (\vec{p} \cdot \hat{r}) \hat{r} - \vec{p} )$$ Ich versuche, dies anzuschließen und eine explizite Formel für elektrische Energie zu erhalten$U$.

Ich denke, das Ergebnis sollte in einem Lehrbuch oder einer Zeitung stehen, aber ich konnte es nicht finden.

Kennst du die Formel?

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Der Zweck dieser Frage ist eigentlich, die zu berechnen$U$mit$\vec{E}$.

Meine Prüfung war

$$U = \frac{1}{2} \frac{1}{16 \pi^2} \int \frac{1}{r^6} \left( 3 (\vec{p}\cdot \hat{r})^2 - \vec{p}\cdot\vec{p} \right) r^2 dr\sin(\theta) d\theta d\varphi$$

$$= - \frac{1}{32\pi r^3} \int_{0}^{\pi} \left( 3 (\vec{p} \cdot \hat{r})^2 - (\vec{p}\cdot \vec{p}) \right) \sin(\theta) d\theta$$