Wie groß ist die Wechselwirkungsenergie zwischen einer Punktladung und einem unendlichen Zylinder?

Ich erinnere mich nicht genug an meinen Elektromagnetismuskurs und kann kein einfaches, vollständiges Beispiel zu diesem Thema finden.

Ich weiß, dass ich den Zylinder als Draht mit der gleichen Ladungsdichte (außerhalb des Zylinders) betrachten kann, also betrachte ich den Drahtfall mit der gleichen Ladungsdichte, λ .

Ich setze die j Richtung durch den Draht zu passieren, und die X Richtung durch die Punktladung und senkrecht zum Draht. Alles ist im z = 0 Ebene. Daher ist das Teilchen bei X = R Position.

Aus dem Gaußschen Gesetz erfahre ich, dass das Feld an einem Punkt in der Ferne liegt R aus dem draht habe ich ein feld was skaliert λ / R . Um das Potential zu finden , muss ich das Integral lösen

v = − ∫ B R E D l = − k ∫ B R λ / X D X

Wo k enthält die Konstanten und B ein Punkt, an dem das Potential 0 ist.

Die Lösung dieses Integrals ist

v = − k λ Protokoll ⁡ ( 1 / R ) + C

Wenn B = 1 Das Potential ist 0, also ist das Potential

v = k λ Protokoll ⁡ ( 1 / R )

und die Energie ist

U = k Q λ Protokoll ⁡ ( 1 / R )

Hier sind meine Fragen:

  1. Ist irgendetwas davon wahr?

  2. Ich habe versucht, dies abzuleiten, indem ich mit dem Coulomb-Gesetz begann und die Energie für ein Segment des Drahtes berechnete. Ich erhielt eine Antwort, die wie folgt skaliert 1 / R , können Sie die Antwort darauf ableiten?

Das sieht für mich mehr oder weniger richtig aus und ist der Ansatz, den ich wählen würde.

Antworten (1)

Ich glaube, Sie haben einen kleinen Tippfehler in Ihrer Formel für v . Es sollte lesen v = − k λ l Ö G ( R ) + C .

Abgesehen davon, wenn Sie anrufen D = R 2 + j 2 der Abstand der Punktladung in (r,0,0) von einem Punkt (0,y,0) auf dem Draht, das Coulomb-Gesetz gibt das elektrische Feld im Punkt (r,0,0) als Vektor entlang des x an Achsen proportional zu

E = 2 ∫ 0 ∞ λ D 2 R D D j = 2 ∫ 0 ∞ λ R ( R 2 + j 2 ) 3 2 D j
( R / D ist der cos des Winkels θ zwischen dem Vektor, der von (0,y,0) nach (r,0,0) und (r,0,0) zeigt, und für Symmetrie müssen Sie nur im oberen Teil des Drahtes integrieren). Mit der Substitution j = R   T A N ( θ ) , Und D j = R 1 C Ö S ( θ ) 2 D θ das wird

E = 2 ∫ 0 ∞ λ R ( R 2 + j 2 ) 3 2 D j = 2 λ R ∫ 0 π / 2 C Ö S ( θ ) D θ = 2 λ R

Sie erhalten also dasselbe elektrische Feld, das Sie aus dem Gauß-Theorem erhalten. Der Rest ist gleich..

Wie groß ist die Wechselwirkungsenergie zwischen einer Punktladung und einem unendlichen Zylinder?
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