Zeichenfehler bei der Berechnung der Formel für die elektrostatische potentielle Energie! [Duplikat]

Question

Zeichenfehler bei der Berechnung der Formel für die elektrostatische potentielle Energie! [Duplikat]

Omar

Ich habe ein Problem bei der Berechnung der elektrostatischen potentiellen Energie.

Ich verlasse mich auf diese Gleichungen aus der Mechanik:

U_{B} - U_{A} = - W_{A \to B} (D Ö N e B j T H e F ich e l D F Ö R C e)

$\begin{equation} U_{B}-U_{A} = -W_{A \ \rightarrow \ B} (done\ by \ the \ field \ force) \end{equation}$

U_{B} - U_{A} = W_{A \to B} (D Ö N e B j T H e Ö P P Ö S ich T e F Ö R C e)

$\begin{equation} U_{B}-U_{A} = W_{A \ \rightarrow \ B} (done\ by \ the \ opposite \ force) \end{equation}$

Nach dem nächsten Bild

Die von der Coulomb-Kraft (Feldkraft) verrichtete Arbeit ist:

W = \int_{A}^{B} \vec{F} . \vec{D R}

$\begin{equation} W= \int_{A}^{B} \! \vec{F}.\,\vec{dr} \end{equation}$

Laut Bild

F = \frac{Q_{1} Q_{2}}{4 π e_{Ö} X^{2}} \vec{ich}

$\begin{equation} F = \frac{q_{1}q_{2}}{4\pi e_{o} x^{2}} \vec{i} \end{equation}$

\vec{D R} = - D X \vec{ich}

$\begin{equation} \vec{dr} =- dx \vec{i} \end{equation}$

Deshalb:

W = \int_{A}^{B} \vec{\frac{Q_{1} Q_{2}}{4 π e_{Ö} X^{2}} \vec{ich}} . (- D X \vec{ich})

$\begin{equation} W= \int_{A}^{B} \! \vec{\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi e_{o} x^{2}} \vec{i}}.\,(- dx \vec{i}) \end{equation}$

lassen $B=r$ und A= $\infty$ Sei

W = - \int_{\infty}^{R} \frac{Q_{1} Q_{2}}{4 π e_{Ö} X^{2}} D X

$\begin{equation} W= -\int_{\infty}^{r} \! \frac{q_{1}q_{2}}{4\pi e_{o} x^{2}} \, dx \end{equation}$

Lassen $B=r$ und A= $\infty$ Sei

W = \frac{Q_{1} Q_{2}}{4 π e_{Ö}} (\frac{1}{X} F R Ö M \infty T Ö R)

$\begin{equation} W= \frac{q_{1}q_{2}}{4\pi e_{o} } (\frac{1}{x} from\ \infty \ to \ r ) \end{equation}$

Dann:

W = \frac{Q_{1} Q_{2}}{4 π e_{Ö} R}

$\begin{equation} W= \frac{q_{1}q_{2}}{4\pi e_{o} r} \end{equation}$

Wenn ich dieses Ergebnis oben in Gleichungen einsetze:

U_{B} - U_{A} = - \frac{Q_{1} Q_{2}}{4 π e_{Ö} R}

$\begin{equation} U_{B}-U_{A} = -\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi e_{o} r} \end{equation}$ Als

U_{A} = 0

$U_{A} =0$ Endlich:

U_{B} = - \frac{Q_{1} Q_{2}}{4 π e_{Ö} R}

$\begin{equation} U_{B} = -\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi e_{o} r} \end{equation}$ Es stellte sich heraus, dass die potenzielle Energie negativ ist, aber es wird angenommen, dass sie positiv ist, da eine externe Kraft Energie in das System einbringt. Ich weiß nicht, wo mein Fehler liegt!

Färcher

Duplizieren Sie mit der Verwirrung über das Zeichen von dr? physical.stackexchange.com/q/265562

Omar

Irgendwie ähnlich.

Steeven

@DavidZ Dies könnte das gleiche Problem wie die andere Frage sein, aber die doppelt verknüpfte Frage ist schlecht und verwirrend geschrieben und die Antworten sind falsch oder nicht ideal / beantworten die Frage nicht. Ich glaube, das eigentliche Problem in beiden Fragen unterscheidet sich stark von dem, was bisher beantwortet wurde (siehe meine Antwort unten hier). Es scheint, dass der Punkt aufgrund mangelnder Klarheit in den Fragen missverstanden wurde. Ich stimme daher dafür, die vorliegende Frage, die viel klarer ist, erneut zu stellen.

David z

@Steeven Glaubst du, die andere Frage sollte stattdessen als Duplikat dieser Frage geschlossen werden? Das ist eine vernünftige Option, und wenn ja, würde ich mich freuen, wenn Sie entsprechend abstimmen (wenn das System Sie zulässt). Aber ich möchte anmerken, dass keiner der Gründe, auf die Sie hingewiesen haben, wirklich gültige Einwände dagegen sind, dass eine dieser Fragen ein Duplikat der anderen ist. Wenn ein doppeltes Ziel verwirrend geschrieben ist, können wir es bearbeiten; Wenn keine der Antworten darauf angemessen eingeht, können wir neue Antworten posten, die dies tun.

Steeven

@DavidZ Ihr erster Vorschlag könnte auf den Punkt kommen.

Emilio Pisanty

@DavidZ Ich habe für die Wiedereröffnung zur Unterstützung dieser Option gestimmt.

Antworten (1)

Zeichenfehler bei der Berechnung der Formel für die elektrostatische potentielle Energie! [Duplikat]

Duplizieren Sie mit der Verwirrung über das Zeichen von dr? physical.stackexchange.com/q/265562
@DavidZ Dies könnte das gleiche Problem wie die andere Frage sein, aber die doppelt verknüpfte Frage ist schlecht und verwirrend geschrieben und die Antworten sind falsch oder nicht ideal / beantworten die Frage nicht. Ich glaube, das eigentliche Problem in beiden Fragen unterscheidet sich stark von dem, was bisher beantwortet wurde (siehe meine Antwort unten hier). Es scheint, dass der Punkt aufgrund mangelnder Klarheit in den Fragen missverstanden wurde. Ich stimme daher dafür, die vorliegende Frage, die viel klarer ist, erneut zu stellen.
@Steeven Glaubst du, die andere Frage sollte stattdessen als Duplikat dieser Frage geschlossen werden? Das ist eine vernünftige Option, und wenn ja, würde ich mich freuen, wenn Sie entsprechend abstimmen (wenn das System Sie zulässt). Aber ich möchte anmerken, dass keiner der Gründe, auf die Sie hingewiesen haben, wirklich gültige Einwände dagegen sind, dass eine dieser Fragen ein Duplikat der anderen ist. Wenn ein doppeltes Ziel verwirrend geschrieben ist, können wir es bearbeiten; Wenn keine der Antworten darauf angemessen eingeht, können wir neue Antworten posten, die dies tun.
@DavidZ Ich habe für die Wiedereröffnung zur Unterstützung dieser Option gestimmt.

Steeven · Answer 1

Sie führen eine "Rückwärts"-Integration durch. Von höheren zu niedrigeren statt von niedrigeren zu höheren x-Achsenwerten.

Integration "rückwärts" aus $\infty$ Zu $r$ (rückwärts weil $\infty>r$ ) ist die "umgedrehte" und "entgegengesetzte" Version der einen von $r$ Zu $\infty$ ,

\int_{\infty}^{R} \dots D X = - \int_{R}^{\infty} \dots D X .

$\int_\infty^r \dots dx=-\int_r^\infty \dots dx\,.$

$\int$ ist ein verallgemeinertes Summationssymbol. Es fasst all die kleinen Bits zusammen. $\int_\infty^r$ Und $\int_r^\infty$ sollte genau das gleiche abdecken. Mathematisch die gleiche Fläche unter dem gezeichneten Diagramm; physikalisch die gleiche Verschiebung. Eine besteht nur aus Spalten, die von links nach rechts summiert werden, und die anderen Spalten werden von rechts nach links summiert. oder physikalische Summierungen über den gleichen Weg, einfach von rechts beginnend und dann von links. Sie sollten genau gleich sein.

Aber das Ausschreiben wird ein Zeichenproblem geben, weil wir immer "Endsituation" minus "Ausgangssituation" sagen:

\int_{\infty}^{R} \dots D X = \underset{Finale}{\underset{⏟}{F_{R}}} - \underset{Start}{\underset{⏟}{F_{\infty}}} \int_{R}^{\infty} \dots D X = \underset{Finale}{\underset{⏟}{F_{\infty}}} - \underset{Start}{\underset{⏟}{F_{R}}}

$\int_\infty^r \dots dx=\underbrace{F_r}_\text{final}-\underbrace{F_\infty}_\text{start}\qquad\quad \int_r^\infty \dots dx=\underbrace{F_\infty}_\text{final}-\underbrace{F_r}_\text{start}$

$F_r-F_\infty$ Und $F_\infty-F_r$ sind nicht gleich - ihre Vorzeichen sind entgegengesetzt. Aber wir wissen, dass sie genau gleich sind – nur summiert von verschiedenen Ausgangspunkten. Dieses mathematische Problem bedeutet, dass wir beim Integrieren "rückwärts" ein Minuszeichen hinzufügen müssen. Sonst erhalten wir nicht die gleiche Fläche unter dem Graphen oder die gleiche Wegsummierung.

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Omar

Färcher

Omar

Steeven

David z

Steeven

Emilio Pisanty

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Steeven

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