Kinetische Energie zweier geladener Kugeln in unendlicher Entfernung zwischen ihnen

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Kinetische Energie zweier geladener Kugeln in unendlicher Entfernung zwischen ihnen

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Wenn ich zwei Kugeln mit Massen und Ladungen habe $m_1, q_1^{+}$ , $m_2, q_2^{+}$ , zunächst auf Distanz gehalten $d$ , und dann losgelassen, wie kann ich die kinetische Energie jeder der Kugeln in unendlicher Entfernung zwischen ihnen kennen? Ich bin ziemlich festgefahren, weil beide am Anfang die gleiche potenzielle Energie haben und sie nicht im gleichen Muster abnimmt, als ob eine der Kugeln stationär wäre. So fällt es nicht nur gerne auf $1/R$ , weil gleichzeitig auch die andere Kugel, die diese potentielle Energie verursacht, abgestoßen wird. Wie kann ich also die Energien wirklich herausfinden? Ich habe versucht, das Energieerhaltungsgesetz anzuwenden, weil ich weiß, dass sie in unendlicher Entfernung voneinander keine potenzielle Energie haben, daher wurde die gesamte Anfangsenergie in kinetische Form umgewandelt, aber ich bleibe bei der anfänglichen potenziellen Energie (sie beide haben es, so sollte ich sagen $2U_p$ ?), und trotzdem kann ich ihre kinetischen Energien nicht separat finden, ohne eine andere Gleichung zu haben.

Lagerbär

Vielleicht hilft die Impulserhaltung? Außerdem spielt es keine Rolle, „wie“ sie ins Unendliche gelangen, weil Energie nicht von dieser Geschichte abhängt.

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@Lagerbaer - Ich habe darüber nachgedacht. Eine quantitative Frage in meinem Buch führt jedoch zu der Schlussfolgerung, dass sogar die Energieerhaltungsgleichung, die ich geschrieben habe, falsch ist (

2 U_{p} = E_{k, 1} + E_{k, 2}

$2U_p=E_{k,1}+E_{k,2}$ ). Deshalb möchte ich wissen, was ich hier vermisse. Wie soll ich die potentielle Energie des gesamten Systems behandeln?

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Kinetische Energie zweier geladener Kugeln in unendlicher Entfernung zwischen ihnen

Vielleicht hilft die Impulserhaltung? Außerdem spielt es keine Rolle, „wie“ sie ins Unendliche gelangen, weil Energie nicht von dieser Geschichte abhängt.
@Lagerbaer - Ich habe darüber nachgedacht. Eine quantitative Frage in meinem Buch führt jedoch zu der Schlussfolgerung, dass sogar die Energieerhaltungsgleichung, die ich geschrieben habe, falsch ist ( $2U_p=E_{k,1}+E_{k,2}$ ). Deshalb möchte ich wissen, was ich hier vermisse. Wie soll ich die potentielle Energie des gesamten Systems behandeln?

Benutzer10851 · Answer 1

Potentielle Energie ist eine Eigenschaft des Systems , nicht irgendeines Objekts. Daher sollte es nur eine Kopie des Typicals geben $1/r$ potentielle Energie zwischen zwei Ladungen (plus einem analogen Gravitationsterm, falls dieser nicht vernachlässigt werden kann).

Der einfachste Weg, dies zu sehen, besteht darin, von einer „unendlichen“ Trennung auszugehen. Anstatt die beiden Ladungen zusammenzuschieben, halten Sie eine fest und bewegen Sie die andere darauf zu. Die sich bewegende Ladung muss die Standard-Coulomb-Kraft bekämpfen (mit ein wenig Hilfe der Schwerkraft), um näher an die stationäre zu gelangen, sodass die hier erhaltene potentielle Energie nur das Integral dieser Kraft über die zurückgelegte Strecke ist ( $d$ Zu $\infty$ ).

Aber was ist mit dem stationären Objekt? Nun, sicher, wir müssen eine Kraft darauf ausüben, damit es nicht von der sich nähernden Ladung abgestoßen wird. Aber es bewegt sich nicht, also die Änderung in $\vec{F} \cdot \vec{x}$ Energie verschwindet.

Die Tatsache, dass wir irgendwann in der Zukunft beide Objekte bewegen lassen, ändert nichts an der potentiellen Energie, also sollten Sie die gleiche potentielle Energie erhalten, als ob das Problem formuliert wäre:

Eine Punktmasse $m_1$ mit Gebühr $q_1$ ist am Ursprung fixiert. Eine weitere Punktmasse $m_2$ mit Gebühr $q_2$ wird aus der Unendlichkeit hereingebracht. Wie groß ist die potentielle Energie des Systems?

Es kann auch hilfreich sein, sich daran zu erinnern, dass " $2\infty = \infty$ ." Verschieben von Objekten aus $x = -\infty$ Und $x = \infty$ zum Ursprung zurückgelegt wird, entspricht der Entfernung eines Objekts von dort $x = \infty$ zum Ursprung.

Es könnte nur ich sein, aber ich denke nicht, dass Ihr letzter Satz über das Bewegen von Objekten in und aus der Unendlichkeit und so weiter Sinn macht. Unendlich ist keine Zahl, also kannst du nicht mit zwei multiplizieren. Nur ein Gedanke.
@Greg In der Tat kannst du nicht, daher die Anführungszeichen. Dies ist nur eine Abkürzung für $\lim_{x\to\infty} f(2x) = \lim_{x\to\infty} f(x)$ . Das heißt, es gibt keinen Faktor von zwei, den wir vermissen, wenn wir ein stationäres + ein "in die Unendlichkeit gehendes" Objekt betrachten, anstatt zwei "in entgegengesetzte Richtungen ins Unendliche gehende" Objekte. Die potentielle Energie ist egal.

fibonatisch · Answer 2

Ich würde dir vorschlagen, diese Gleichung zu verwenden:

W = \int_{C} F D X,

$W=\int_C{Fdx},$ Wo

F

$F$ ist die Kraft auf ein Objekt und

W

$W$ die von dieser Kraft geleistete Arbeit.

In diesem Fall wirken zwei Arten von Kräften auf die beiden Objekte, Gravitation und Coulomb-Kraft:

F_{R e S u l T} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q_{1} Q_{2}}{R^{2}} - G \frac{M_{1} M_{2}}{R^{2}} = (\frac{Q_{1} Q_{2}}{4 π ϵ_{0}} - G M_{1} M_{2}) \frac{1}{R^{2}},

$F_{result}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}-G\frac{m_1m_2}{r^2}=\left(\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}-Gm_1m_2\right)\frac{1}{r^2},$ mit

r

$r$ der Abstand zwischen den beiden Objekten. So:

W_{T Ö T A l} = (\frac{Q_{1} Q_{2}}{4 π ϵ_{0}} - G M_{1} M_{2}) \int_{D}^{\infty} \frac{1}{R^{2}} D R = (\frac{Q_{1} Q_{2}}{4 π ϵ_{0}} - G M_{1} M_{2}) \frac{1}{D}

$W_{total}=\left(\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}-Gm_1m_2\right)\int^\infty_{d}{\frac{1}{r^2}dr}=\left(\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}-Gm_1m_2\right)\frac{1}{d}$

Bearbeiten: Das ist nicht ganz richtig, da ich davon ausgehe, dass dies eine symmetrische Situation ist, also $m_1=m_2$ und deshalb $W_1=W_2=\frac{W_{total}}{2}$ . Dies wirkt sich auf das Verhältnis der Entfernung zum Ursprung der beiden Objekte und damit auf den Arbeitsaufwand für jedes Objekt aus.

Erstmal danke für die Antwort. Diese Integration führt einfach zu einer potentiellen Energieformel (wir vernachlässigen übrigens die Schwerkraft). Meine Frage war etwas anders. Ich fragte, was die anfängliche potentielle Energie des Systems ist und wie ich die Erhaltungssätze in Bezug auf dieses Problem formulieren kann.
Sie können Ihre anfängliche potentielle Energie wählen (wählen Sie, bei welcher Entfernung Ihre potentielle Energie Null ist). In einer solchen Situation ist es üblich, die Position zu wählen, an der die potentielle Energie im Unendlichen Null ist.

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