Potentialenergie und Erhaltungssatz

Ich werde die Frage ohne Lagrange-Formalismus beantworten. Um es kurz zu machen, ich werde festlegen$m = T = x_0 = 1$.

Aus

$$x(t) = \ln(1+t^2)$$ man kann die Geschwindigkeit bekommen $$\dot{x}(t) = \frac{2t}{1+t^2}$$ und dann die beschleunigung $$\ddot{x}(t) = 2\frac{1-t^2}{(1+t^2)^2}$$

Wir wollen das Potenzial nutzen$U(x)$, das heißt, unter Verwendung des Newtonschen Gesetzes (oder äquivalent der Euler-Lagrange-Gleichung)

$$\frac{\partial U}{\partial x} = -\ddot{x}$$

So wollen wir ausdrücken$\ddot{x}$als Funktion von$x$. Durch Umkehren der ersten Gleichung können wir ausdrücken$t(x)$:

$$t^2 = e^x-1$$ So $$\frac{\partial U}{\partial x} = 2\frac{e^x-2}{e^{2x}}$$ Eine endgültige Integration gibt uns $$U(x) = 2(e^{-2x}-e^{-x}) + C$$

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In der Tat ist es viel schneller zu verwenden$U(x) = E - \frac{1}{2}\dot{x}^2$. Lass uns aussuchen$E=0$, weil eine Konstante zu hinzugefügt wird$U$ändert nichts an der Physik.

Mit dem Ausdruck für$t(x)$oben haben wir

$$\dot{x} = \frac{2\sqrt{e^x-1}}{e^x}$$ So $$U(x) = -\frac{1}{2}\frac{4(e^x-1)}{e^{2x}} = 2(e^{-2x}-e^{-x})$$

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Merken Sie sich$E$, ist die Energie des Systems (wie auch die kinetische Energie) eine Eigengröße . Sie hängt zum Beispiel von Anfangsbedingungen ab. Es ist wirklich eine Funktion von$t$und nicht$x$. Im Gegenteil, eine potentielle Energie kann sowohl als externe Größe angesehen werden, als auch unabhängig vom System (deshalb assoziieren wir eine potentielle Energie$U(x)$zu jedem Raumpunkt) und als Teil der Energie :

$$E(t) = \frac{1}{2}m\dot{x}^2(t) + U(x(t))$$ Wenn Sie ein mentales Bild wollen, $U(x)$ist der Hügel, und $E(t)$ist die Gesamtenergie der rollenden Kugel (hier eine Konstante).