Die Bedingung der "stationären potentiellen Energie" für das statische Gleichgewicht in mechanischen Systemen

Ihre Frage ist tatsächlich eine der wichtigsten Fragen in der analytischen Mechanik. Dies liegt daran, dass man die Eulero-Lagrange-Gleichungen explizit für ein beliebiges eingeschränktes System mit schreibt$n$Freiheitsgrade und Lagrangian der Form:

$$L(t, {\bf q},\dot{\bf q}) = T(t, {\bf q},\dot{\bf q}) - U(t, {\bf q},\dot{\bf q})$$

Wo$T$ist quadratisch ein$\dot{\bf q}$Und$U$ist höchstens linear in$\dot{\bf q}$, haben Sie einen Satz von Gleichungen der Form:

$$\sum_{j=1}^n A(t, {\bf q})_{ij} \frac{d^2 q^j}{dt^2} = G_i\left(t, {\bf q},\frac{d q^j}{dt}\right)\quad i= 1,2,\ldots, n\:.\qquad (1)$$

Wie aus der allgemeinen Theorie der Differentialgleichungen bekannt ist, lässt sich das System der Differentialgleichungen umschreiben als:

$$\frac{d^2 q^i}{dt^2} = \sum_{j=1}^n A^{-1}(t, {\bf q})_{ij} G_j\left(t, {\bf q},\frac{d q^j}{dt}\right)\quad i= 1,2,\ldots, n \qquad(2)\:.$$

das in normaler Form ist (nur die Ableitung höchster Ordnung erscheint auf der linken Seite), dann lässt das System eine Lösung in der Umgebung eines beliebigen Festwerts zu$t_0$und sie ist eindeutig durch die Anfangsbedingungen bestimmt

$$({\bf q}(t_0),\dot{\bf q}(t_0)) = ({\bf q}_0,\dot{\bf q}_0)\:.$$ Tatsächlich gilt, wenn die rechte Seite von (2) hinreichend regulär ist: $C^1$gemeinsam in allen Variablen ist OK (schwächer, Kontinuität und die Gültigkeit lokaler Lipschitz-Bedingung in $({\bf q}_0,\dot{\bf q}_0)$würde eigentlich auch reichen). Um von (1) auf (2) überzugehen, ist es notwendig, dass $$\det A(t, {\bf q}) \neq 0\quad \mbox{everywhere in $(t, {\bf q})$.}$$

Zeigen wir, dass für ein physikalisches System beschränkter materieller Punkte diese Bedingung immer unter geeigneten Hypothesen über die Beschränkungen verifiziert wird.

Angenommen, das System besteht aus$N$, mit$3N > n$, materielle Punkte mit Massen$m_k>0$und Positionen${\bf r}_k$in einem gegebenen Bezugssystem. In diesem Fall sind die Einschränkungen$c=3N-n$Anforderungen des Formulars:

$$f_l(t, {\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_N)=0\quad l=1,2,\ldots, c \qquad (3)\:.$$

Es wird auch davon ausgegangen, dass die Funktionen$f_l$ausreichend regulär sind (für unsere Berechnung$C^2$ausreichend ist) und dass die Einschränkungen funktional unabhängig sind . Das heißt, genau auf der Menge der Punkte$(t, {\bf q})$wo (3) gilt, muss auch gelten, dass die Jacobi-Elementmatrix (die 3N$x_k$sind alle kartesischen Komponenten von allen${\bf r}_i$beliebig beschriftet, da hier nicht relevant)

$$\frac{\partial f_l}{\partial x_k}$$

hat$c$linear unabhängige Zeilen (oder äquivalent Spalten). Diese Anforderungen stellen sicher, dass der Satz zulässiger Positionen a ist$n=3N-c$Vielfältig für alle Zeiten$t$und das gibt es lokal$n=3N-c$freie Koordinaten,$q^1,\ldots, q^2$, auf dieser Mannigfaltigkeit und in einer Umgebung einer festen Zeit$t$.

Es ist erwähnenswert, dass diese$n$Koordinaten können immer unter den ausgewählt werden$3N$Koordinaten$x_i$, auch wenn diese Auswahl nicht erforderlich ist.

Als Folge der Existenz von$n$lokalen Koordinaten auf der Mannigfaltigkeit zulässiger Konfigurationen gelten die lokalen Beziehungen:${\bf r}_k={\bf r}_k(t,q^1,\ldots, q^n)$. Wie Sie wahrscheinlich wissen und die Berechnung einfach ist, ist die Matrix$A$nimmt diese Form an:

$$A_{ij} = \sum_{s=1}^N m_s \frac{\partial {\bf r}_s}{\partial q^i} \cdot \frac{\partial {\bf r}_s}{\partial q^j}\:.\qquad (4)$$

Das möchte ich jetzt zeigen$\det A \neq 0$wenn alle genannten Hypothesen wahr sind. Es ist offensichtlich, dass es ausreicht, diese Tatsache nur in einem lokalen Koordinatensystem zu beweisen$q^1,\ldots, q^n$. In der Tat, lokale Koordinaten ändern und zu den Koordinaten übergehen$Q^1,\ldots, Q^n$, erhalten wir eine neue Matrix$A'$verwandt mit dem vorigen durch:

$$A'_{rs} = \sum_{i,j=1}^n\frac{\partial q^i}{\partial Q^r}\frac{\partial q^j}{\partial Q^s} A_{ij}\:.$$

Da die Jacobi-Matrix der Elemente$\frac{\partial q^i}{\partial Q^r}$muss kein Singular sein,$\det A \neq 0$ist äquivalent zu$\det A' \neq 0$.

Es ist bequem, die freien Koordinaten zu wählen$q^1,\ldots, q^n$als$n$Koordinaten$x_k$unter den ursprünglichen Komponenten der Vektoren${\bf r}_j$wie oben gesagt. Der Einfachheit halber können wir das annehmen$q^1=x_1, q^2= x_2,\ldots , q^n = x_n$.

Nehmen Sie bei dieser Wahl der Koordinaten an, dass$\det A=0$. Folglich gibt es einen Vektor$v \in R^n -\{0\}$so dass$Av=0$und folglich$v^t A v =0$. Ausbeutung (4):

$$0=\sum_{ij}v_iA_{ij} v_j = \sum_{s=1}^N m_s \sum_{i,j}v_i\frac{\partial {\bf r}_s}{\partial q^i} \cdot v_j\frac{\partial {\bf r}_s}{\partial q^j} = \sum_{s=1}^N m_s \left| \sum_{i}v_i\frac{\partial {\bf r}_s}{\partial q^i}\right|^2\:.$$

Seit$m_s>0$, impliziert wiederum:

$$\sum_{i}v_i\frac{\partial {\bf r}_s}{\partial q^i} =0 \quad \mbox{for $r=1,2,\ldots, N$}\:.$$ Weiter zu den Komponenten der ${\bf r}_s$:

$$\sum_{i}v_i\frac{\partial x_l}{\partial q^i} =0 \quad \mbox{for $l=1,2,\ldots, 3N$}\:.\quad (5)$$

Erinnere dich endlich daran$x_l=q^l$, für$l=1,2, \ldots, n$. Wählen$l=1$, ergeben die Anforderungen (5):

$$v_1 =0$$

Wählen$l=2$, ergeben die Anforderungen (5):

$$v_2 =0$$

usw. Endlich bekommen wir$v=0$. Dies ist seitdem nicht möglich$v \in R^n -\{0\}$. Die Existenz einer solchen$v$war eine Folge von$\det A=0$das ist folglich unhaltbar.

Beachte das$A$ist ein linearer Operator auf$\mathbb R^n$. Nehme an, dass$A$ist singulär, nämlich$\det A= 0$, dann der Kern von$A$ist nicht trivial. Mit anderen Worten, es existiert etwas Nicht-Null $v\in\mathbb R^n$wofür$Av=0$. Daraus folgt, dass die kinetische Energie für diesen Wert ungleich Null verschwindet$v$.

Mathematisch gesehen ist daran nichts „falsch“, aber es ist physikalisch pathologisch, weil die kinetische Energie aufgrund der Größe der Bewegung des Objekts Energie darstellt, und wir erwarten daher, dass jeder Zustand des Objekts dafür$\dot q_i\neq 0$für einige$i$sollte eine kinetische Energie ungleich Null zugeordnet werden.