Eine Masse, die unter einem Tisch hängt: ein Problem von Goldstein [geschlossen]

Ich versuche, Problem 1.19 aus Goldsteins Kapitel 1 (2. Auflage) zu lösen, und verzettele mich in Trigonometrie (?). Bitte helft mir herauszufinden, was ich falsch mache!

Zwei Masse Massenpunkte M 1 Und M 2 werden durch eine Schnur verbunden, die durch ein Loch in einem glatten Tisch geht, so dass M 1 ruht auf dem Tisch und M 2 hängt ausgesetzt. Vorausgesetzt M 2 bewegt sich nur in einer vertikalen Linie, was sind die verallgemeinerten Koordinaten für das System? Schreiben Sie die Lagrange-Gleichungen für das System auf und diskutieren Sie, wenn möglich, die physikalische Bedeutung, die jede von ihnen haben könnte. Reduzieren Sie das Problem auf eine einzelne Differentialgleichung zweiter Ordnung und erhalten Sie ein erstes Integral der Gleichung. Was ist seine physikalische Bedeutung? (Betrachten Sie die Bewegung nur so lange, wie weder M 1 noch M 2 geht durch das Loch).

Ich versuche, den Lagrangian so genau wie möglich zu finden. Ziel des Problems scheint es zu sein, die konstante Länge des Seils als Zwangsbedingung und die Zugkräfte an beiden Punkten als Zwangskräfte festzulegen, die bei der Erstellung der Lagrange-Funktion vernachlässigt werden können. Aber ich kann nicht beweisen, dass ich sie ignorieren kann.

Lassen Sie den Ursprung am Loch sein, und R 1 , R 2 seien die Ortsvektoren der beiden Punkte. Ich gehe bekanntlich davon aus, dass die Spannung T ist an beiden Seilenden gleich. Dann ist der Polarwinkel der erste Punkt ϕ , die Kraft der Spannung am ersten Punkt ist ( F 1 X , F 1 j ) = ( − T cos ⁡ ϕ , − T Sünde ⁡ ϕ ) und zum zweiten punkt F 2 z = − T , wobei nur nichttriviale Koordinaten aufgelistet werden. Die holonome Zwangsgleichung ist | R | 1 + | R 2 | = R Wo R ist die konstante Länge des Seils.

Nun sind die Zugkräfte eindeutig nicht wie die normale Zwangskraft aus der Tabelle am ersten Punkt, die einfach verschwindet, weil sie orthogonal zur Geschwindigkeit ist. Die Spannungskräfte leisten an jedem Teilchen eine virtuelle Arbeit ungleich Null, aber es scheint, dass ich in der Lage sein sollte, zu beweisen, dass sie genau wie bei einem starren Körper aufgrund des 3. Newtonschen Gesetzes verschwinden, wenn sie über den Teilchen summiert werden. Mit anderen Worten, ich muss beweisen, dass das d'Alambert-Prinzip in dem System gilt: Die virtuelle Nettoarbeit der Zwangskräfte ist Null .

Lassen δ R 1 = ( δ R 1 , ψ ) (in Polarkoordinaten) und δ R 2 = δ R 2 virtuelle Verschiebungen der beiden Punkte sein, die mit den Beschränkungen konsistent sind. Die gesamte virtuelle Arbeit der beiden Zwangskräfte ist dann

− T cos ⁡ ϕ ( δ R 1 cos ⁡ ψ ) − T Sünde ⁡ ϕ ( δ R 1 Sünde ⁡ ψ ) − T δ R 2 = T δ R 1 cos ⁡ ( ϕ − ψ ) + T δ R 2 = 0
und ich muss zeigen, dass dies gilt, wenn ( δ R 1 , δ R 2 ) die Zwangsgleichung erfüllen, d.h. die Längenunterschiede zwischen den Positionsvektoren müssen übereinstimmen:
| R 1 + δ R 1 | − | R 1 | = − ( | R 2 + δ R 2 | − | R 2 | )
Die rechte Seite ist nur der Skalar − δ R 2 , aber die linke Seite lässt sich nicht so einfach vereinfachen. Verwenden der Polarkoordinaten ( R , ϕ ) es scheint darauf anzukommen
( R cos ⁡ ϕ + δ R 1 cos ⁡ ψ ) 2 + ( R Sünde ⁡ ϕ + δ R 1 Sünde ⁡ ψ ) 2 − R = R 2 + δ R 1 2 + 2 R δ R 1 cos ⁡ ( ϕ − ψ ) − R
und jetzt stecke ich fest. Es scheint, dass ich es beweisen muss − δ R 2 = δ R 1 cos ⁡ ( ϕ − ψ ) , damit die Kräfte null virtuelle Arbeit gemeinsam leisten. Im Sonderfall ψ = ϕ , wenn sich der erste Punkt in einer geraden Linie zum Ursprung bewegt, vereinfacht sich die obige Quadratwurzel, R verschwindet, und ich bekomme das Gewünschte δ R 1 = − δ R 2 . Aber ich verstehe nicht, wie ich das annehmen kann, und tatsächlich scheint es physikalisch falsch zu sein, wenn zum Beispiel der erste Punkt eine Anfangsgeschwindigkeit in hat j Richtung.

Was mache/rechne/nehme ich falsch an?

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Kyle, danke, dass du mich darauf aufmerksam gemacht hast. Nachdem ich diese Themen gelesen habe, hoffe ich, dass meine Frage aus folgenden Gründen bestehen bleibt: Es ist keine Hausaufgabe (ich studiere das Buch im Selbststudium), ich denke, es deutet möglicherweise eher auf ein konzeptionelles Missverständnis als auf einen bloßen Rechenfehler hin, und Ich habe versucht, meinen Versuch ausführlich zu zeigen. Wenn Sie der Meinung sind, dass es verbessert werden kann, um nützlicher zu werden, lassen Sie es mich bitte wissen.
@Timaeus Nachdem ich verschiedene Quellen über virtuelle Verschiebungen und virtuelle Arbeit gelesen habe, glaube ich, dass ich meinen Fehler gefunden und versucht habe, die Frage selbst zu beantworten. würde mich über Bestätigung / Kritik / Möglichkeiten zur Verbesserung der Antwort freuen, falls vorhanden.
@AnatolyVorobey Dies ist manchmal das Problem mit SE, diese Leute nennen legitime konzeptionelle Zweifel "Hausaufgabenhilfe".

Antworten (1)

Ich werde meine eigene Frage beantworten.

Der Hauptfehler, den ich gemacht habe, war, dass ich die Natur virtueller Verschiebungen nicht verstanden habe. Wenn virtuelle Verschiebungen definiert werden, wird normalerweise gesagt, dass sie "mit den Einschränkungen übereinstimmen", und ich denke jetzt, dass dieser Ausdruck sehr leicht missverstanden werden kann. Die Art und Weise, wie ich es in meiner Frage falsch verstehe, ist, als ich schrieb

und ich muss zeigen, dass dies gilt, wenn ( δ R 1 , δ R 2 ) die Zwangsgleichung erfüllen, d.h. die Längenunterschiede zwischen den Positionsvektoren müssen übereinstimmen:

| R 1 + δ R 1 | − | R 1 | = − ( | R 2 + δ R 2 | − | R 2 | )

Der Hauptfehler besteht darin, sich vorzustellen, dass die Positionsvektoren der Partikel, nachdem sie durch eine virtuelle Verschiebung bewegt wurden, immer noch die Beschränkungsgleichung erfüllen müssen . Das ist falsch . Virtuelle Verschiebungen führen im Allgemeinen nicht dazu, dass das System immer noch die Einschränkungen erfüllt, wie eine naive Lesart von „in Übereinstimmung mit Einschränkungen“ nahelegen würde.

Ein einfaches aufschlussreiches Beispiel ist ein einzelnes Teilchen, das gezwungen ist, sich auf der Oberfläche einer Kugel zu bewegen. Betrachten wir eine virtuelle Verschiebung des Teilchens an einer beliebigen Position R , es ist kein Vektor δ R so dass R + δ R ist immer noch auf der Kugel! Nein, es ist ein Vektor δ R in der Ebene liegen, die die Kugel am Punkt berührt R , so dass R + δ R ist definitiv aus der Sphäre!

Die korrekte Methode zum Berechnen von Beschränkungen für virtuelle Verschiebungen ist wie folgt. Für jede holonome Zwangsgleichung der Form F ( R 1 , . . . , R N , T ) = 0 , die virtuellen Verschiebungen δ R 1 , . . . δ R N sind durch die Gleichung beschränkt

∇ R 1 F ⋅ δ R 1 + . . . + ∇ R N F ⋅ δ R N = 0
(und schon gar nicht durch die völlig falsche Gleichung F ( R 1 + δ R 1 , . . . , R N + δ R N , T ) = 0 Ich habe versucht, in meinem Beitrag zu verwenden).

Ich werde nun die Analyse in meinem Beitrag korrigieren und zeigen, dass die Zwangskräfte tatsächlich null virtuelle Arbeit leisten. Die holonome Zwangsgleichung ist

F ( R 1 , R 2 ) = | R 1 | + | R 2 | − R = 0
Lassen Sie uns durch bezeichnen X 1 , j 1 Die X , j Koordinaten des ersten Teilchens und von z 2 (immer negativ) die z -Koordinate des zweiten Teilchens. Dann haben wir, wenn wir die immer verschwindenden Koordinaten ignorieren,:
R 1 = | R 1 | = X 1 2 + j 1 2 , R 2 = | R 2 | = − z 2
F = X 1 2 + j 1 2 − z 2 − R = 0
∇ R 1 F = ( ∂ F ∂ X 1 , ∂ F ∂ j 1 ) = ( X 1 R 1 , j 1 R 1 )
∇ R 2 F = ∂ F ∂ z 2 = − 1
Und die virtuellen Verschiebungen δ R 1 = ( δ X 1 , δ j 1 ) , δ R 2 = δ z 2 befriedigen muss
( X 1 R 1 , j 1 R 1 ) ⋅ ( δ X 1 , δ j 1 ) + ( − 1 ) δ z 2 = 0
oder zurück zu Vektoren
R 1 ⋅ δ R 1 R 1 = δ z 2
Aber seit R 1 ⋅ δ R 1 = R 1 δ R 1 cos ⁡ ( ϕ − ψ ) , Wo ϕ − ψ ist genau der Winkel zwischen den Vektoren R 1 , δ R 1 Im Beitrag betrachtet, kommen wir zu der Beziehung, die wir brauchen, um zu zeigen, dass die Zwangskräfte keine virtuelle Arbeit leisten, wie im Beitrag gezeigt: − δ R 2 = δ R 1 cos ⁡ ( ϕ − ψ ) (Bis auf einen Zeichenwechsel, den ich irgendwo gemacht habe, zweifellos aufgrund der unglücklichen Wahl des Negativs z Richtung).

Könnten Sie bitte erklären, wie Sie zu der Einschränkung für die virtuellen Verschiebungen gekommen sind? Diejenige, die den Gradienten der Einschränkung beinhaltet?
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