Transformation der Koordinate in Lagrange

Question

Transformation der Koordinate in Lagrange

Aster Kleel

Lagrange für ein Zentralkraftproblem ist:

L = \frac{1}{2} μ (\dot{R} + R^{2} ({\dot{θ}}^{2} + S ich N^{2} θ \cdot {\dot{φ}}^{2})) - U (R)

$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\mu(\dot{r} + r^{2}(\dot{\theta}^{2} + sin^{2}\theta\cdot \dot{\varphi}^{2})) - U(r)$

Wir wissen, dass der Drehimpuls definiert ist als:

\vec{L} = μ \cdot \vec{R} \times \dot{\vec{R}}

$\overrightarrow{L} = \mu \cdot \overrightarrow{r} \times \dot{\overrightarrow{r}}$

∴ \vec{r} (t) \cdot \vec{L} = 0,

$\therefore \hspace{0.5cm} \overrightarrow{r}(t)\cdot \overrightarrow{L} = 0, \hspace{0.5cm}$ es bedeutet, dass die Bewegung in einer einzigen Ebene stattfindet.

Durch die Koordinatentransformation können wir eine Bewegung in der xy-Ebene haben. Es bedeutet also, dass wir einen Drehimpuls haben $\hat{Z}$ Richtung.

∴ θ = C Ö S^{- 1} (\frac{\vec{L} \cdot \hat{Z}}{| | \vec{L} | |})

$\therefore\hspace{0.5cm} \theta = cos^{-1}\bigg( \frac{\overrightarrow{L}\cdot \hat{Z}}{||\overrightarrow{L}||}\bigg)$ Wo,

\vec{L} = μ \cdot R^{2} (- (\dot{θ} \cdot Sünde φ + \frac{1}{2} \cdot φ \cdot Sünde 2 θ \cdot \cos φ) \hat{X} + (\dot{θ} \cdot \cos φ - \frac{1}{2} \cdot φ \cdot Sünde 2 θ \cdot Sünde φ) \hat{Y} + (\dot{φ} \cdot {Sünde}^{2} θ) \hat{Z})

$\overrightarrow{L} = \mu \cdot r^{2}\bigg(-\big(\dot{\theta}\cdot \sin\varphi\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} \frac{1}{2}\cdot\varphi\cdot \sin2\theta\cdot\cos\varphi)\hat{X}\hspace{0.1cm} + (\dot{\theta}\cdot \cos\varphi\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm} \frac{1}{2}\cdot\varphi\cdot \sin2\theta\cdot\sin\varphi)\hat{Y} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \big(\dot\varphi\cdot\sin^{2}\theta\big)\hat{Z}\bigg)$ Und,

| | \vec{L} | | = μ \cdot R^{2} ({\dot{θ}}^{2} + {\dot{φ}}^{2} {Sünde}^{4} θ)^{1 / 2}

$||\overrightarrow{L}|| = \mu\cdot r^{2}\big(\dot\theta^{2}+\dot\varphi^{2}\sin^4\theta\big)^{1/2}$

⟹ θ = C Ö S^{- 1} (\frac{\dot{φ} \cdot {Sünde}^{2} θ}{({\dot{θ}}^{2} + {\dot{φ}}^{2} {Sünde}^{4} θ)^{1 / 2}})

$\implies \theta = cos^{-1}\Bigg( \frac{\dot\varphi\cdot\sin^{2}\theta}{\big(\dot\theta^{2}+\dot\varphi^{2}\sin^4\theta)^{1/2}}\Bigg)$

Ich bin nicht in der Lage, die Koordinate so umzuwandeln, dass der neue Lagrange wird ,

L_{e F F} = \frac{1}{2} μ (\dot{R} + R^{2} {\dot{φ}}^{2}) - U (R)

$\mathcal{L}_{eff} = \frac{1}{2}\mu\big(\dot{r} + r^{2}\dot{\varphi}^{2}\big) - U(r)$

Wladimir Kalitwjanski

Algel

θ

$\theta$ ist keine Variable, sondern eine Konstante. Verwenden Sie einfach seinen Wert.

Aster Kleel

Lagrange wird in sphärischen Koordinaten geschrieben, wobei r,

θ

$\theta$ ,

φ

$\varphi$ ist variabel. Bitte lassen Sie mich wissen, wie

θ

$\theta$ ist keine Variable.

Aster Kleel

@ Eli

\vec{r}

$\overrightarrow{r}$ ist ein Vektor, der entlang eines Einheitsvektors liegt

\hat{r}

$\hat{r}$ , Wo:

\hat{r} = \sin θ \cdot \cos φ \hat{X} + \sin θ \cdot \sin φ \hat{Y} + \cos θ \hat{Z}

$\hat{r} = \sin\theta\cdot\cos\varphi\hat{X} + \sin\theta\cdot\sin\varphi\hat{Y} + \cos\theta\hat{Z}$

Eli

ja ich sehe meinen fehler

Eli

\vec{r} \cdot \vec{L}

$~\vec{r}\cdot\vec{L}~$ ist nur dann Null, wenn

\cos^{2} (θ) - \cos^{2} (ϕ) = 0

$~\cos^2(\theta)-\cos^2(\phi)=0$ oder

θ = ϕ

$~\theta=\phi$ damit bekommst du die

L_{e f f} = \dots

$~\mathcal{L}_{eff}=\ldots$

Aster Kleel

@Eli, wie Sie sehen können

\vec{L} = μ \cdot \vec{r} \times \dot{\vec{r}}

$\overrightarrow{L} = \mu \cdot \overrightarrow{r} \times \dot{\overrightarrow{r}}$ ,

∴

$\therefore$

\vec{L}

$\overrightarrow{L}$ steht senkrecht dazu

\vec{r}

$\overrightarrow{r}$ . Jedes Skalarprodukt mit senkrechtem Vektor ist immer Null. Ich denke, wir brauchen diese Bedingung nicht.

Antworten (1)

Transformation der Koordinate in Lagrange

Algel $\theta$ ist keine Variable, sondern eine Konstante. Verwenden Sie einfach seinen Wert.
Lagrange wird in sphärischen Koordinaten geschrieben, wobei r, $\theta$ , $\varphi$ ist variabel. Bitte lassen Sie mich wissen, wie $\theta$ ist keine Variable.
@ Eli $\overrightarrow{r}$ ist ein Vektor, der entlang eines Einheitsvektors liegt $\hat{r}$ , Wo: $\hat{r} = \sin\theta\cdot\cos\varphi\hat{X} + \sin\theta\cdot\sin\varphi\hat{Y} + \cos\theta\hat{Z}$
$~\vec{r}\cdot\vec{L}~$ ist nur dann Null, wenn $~\cos^2(\theta)-\cos^2(\phi)=0$ oder $~\theta=\phi$ damit bekommst du die $~\mathcal{L}_{eff}=\ldots$
@Eli, wie Sie sehen können $\overrightarrow{L} = \mu \cdot \overrightarrow{r} \times \dot{\overrightarrow{r}}$ , $\therefore$ $\overrightarrow{L}$ steht senkrecht dazu $\overrightarrow{r}$ . Jedes Skalarprodukt mit senkrechtem Vektor ist immer Null. Ich denke, wir brauchen diese Bedingung nicht.

Krup'a · Answer 1

Da die Bewegung in einer Ebene stattfindet, können Sie tatsächlich davon ausgehen, dass die Bewegung in der Ebene liegt $xy$ -Flugzeug dh die $\theta=\pi/2$ -Ebene. Der Lagrange-Operator für das auf die beschränkte System $\theta=\pi/2$ -Ebene ist durch Einstellung gegeben $\dot\theta=0$ Und $\theta=\pi/2$ im gegebenen Lagrange.

@krupa Im ersten möchte ich nicht annehmen $\theta$ auf jeden Wert. Bewegung in der xy-Ebene bedeutet, dass der Drehimpuls hinein zeigt $\hat{z}$ Richtung. Können Sie mir eine physische Region nennen? $\dot\theta$ null sein. Aus der Euler-Lagrange-Gleichung erhalte ich die Beziehung von $\theta$ , das ist : $2\cdot\ddot{\theta} = \sin2\theta\cdot \dot{\varphi}^{2}$ .
Sie können den Lagrange-Wert unten nicht erhalten, indem Sie einfach die Koordinaten des ursprünglichen Lagrange-Werts ändern. Sie enthält einen Freiheitsgrad weniger als die ursprüngliche Lagrange-Funktion. Da die Lagrange-Funktion rotationssymmetrisch ist, bleibt der Drehimpuls erhalten, und Sie können (wie Sie es getan haben) argumentieren, dass die Bewegung in einer Ebene stattfindet (aber nicht in welcher). Aber dann kann man schlussfolgern, dass es ausreicht, in einer bestimmten Ebene nach einer Lösung zu suchen. Dies gibt nicht die allgemeine Lösung des ursprünglichen Problems. Alle Lösungen können jedoch durch rotierende Lösungen der eingeschränkten Lagrangefunktion erhalten werden.

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Eli

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Krup'a

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