Lagrangedichte eines 2D-Doppelpendelsystems mit Feder

Question

Lagrangedichte eines 2D-Doppelpendelsystems mit Feder

phyundergrad

In der obigen Abbildung (bitte entschuldigen Sie meine Picasso-Zeichenkünste) haben wir das allgemeine 2D-Doppelpendelsystem mit einer leichten Modifikation, es gibt eine Feder, die die Massen verbindet, anstelle des üblichen Drahtes.

Ein paar Aussagen zum System:

Die Drahtverbindung $m_1$ zum Drehpunkt ist masselos und hat eine feste Länge $l$ .
Die Federverbindung $m_1$ Und $m_2$ ist masselos, hat eine Konstante $k$ , eine ungedehnte Länge $l_0$ und kann sich nur verlängern/zusammenziehen im $m_1$ - $m_2$ Richtung, hier genannt $r$ .
Die Winkel von $m_1$ Und $m_2$ in Bezug auf die $y$ -Achse sind $\theta$ Und $\phi$ , bzw.
Es gibt keine Reibung.

Jetzt habe ich überlegt zu verwenden $(r, \theta, \phi)$ bei meinen verallgemeinerten koordinaten bin ich mir aber nicht so sicher $r$ sollte eigentlich einer davon sein . Die kartesischen Koordinaten würden sich auf sie beziehen als

{\begin{array}{lcl} X_{1} = l Sünde θ \\ X_{2} = l Sünde θ + R Sünde ϕ \\ j_{1} = l \cos θ \\ j_{2} = l \cos θ + R \cos ϕ \end{array}

$\left \{ \begin{array}{lcl}x_1 = l \sin \theta \\ x_2 = l \sin \theta + r \sin \phi \\ y_1 = l \cos \theta \\ y_2 = l \cos \theta + r \cos \phi \end{array} \right.$

Ich glaube, das ist ziemlich einfach. Nun, der Lagrangian wäre es

L = T - U = {\frac{1}{2} M_{1} ({\dot{X}}_{1}^{2} + {\dot{j}}_{1}^{2}) - M_{1} G j_{1}} + {\frac{1}{2} M_{2} ({\dot{X}}_{2}^{2} + {\dot{j}}_{2}^{2}) - M_{2} G j_{2}} - \frac{1}{2} k R^{2}

$L = T - U = \left \{ \frac{1}{2}m_1 \left(\dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2 \right) - m_1gy_1 \right \} + \left \{ \frac{1}{2}m_2 \left(\dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2 \right) - m_2gy_2 \right \} - \frac{1}{2}k r^2$

Und wenn wir diese Lagrangian in Bezug auf unsere verallgemeinerten Koordinaten umschreiben $(r,\theta, \phi)$ erhalten wir nach etwas Algebra

L = {\frac{1}{2} l^{2} {\dot{θ}}^{2} (M_{1} + M_{2}) + \frac{1}{2} M_{2} {\dot{R}}^{2} + \frac{1}{2} M_{2} R^{2} {\dot{ϕ}}^{2} + M_{2} l \dot{R} \dot{θ} Sünde (θ - ϕ) + M_{2} l \dot{R} \dot{θ} \dot{ϕ} \cos (θ - ϕ) - G l \cos θ (M_{1} + M_{2}) + M_{2} G R \cos ϕ - \frac{1}{2} k R^{2}}

$L = \Bigg\{ \frac{1}{2}l^2 \dot \theta^2 \left(m_1 + m_2 \right) + \frac{1}{2}m_2 \dot r^2 + \frac{1}{2}m_2 r^2 \dot \phi^2 \\ + m_2 l \dot r \dot \theta \sin \left( \theta - \phi \right) + m_2 l \dot r \dot \theta \dot \phi \cos \left( \theta - \phi \right) \\ -gl \cos \theta \left( m_1 + m_2\right) +m_2gr \cos \phi - \frac{1}{2} kr^2 \Bigg\}$

Was ~~genau~~ an den Lagrangian für den allgemeinen Fall erinnert, wie er hier in (9) zu sehen ist , mit zwei Modifikationen:

Es gibt eine Feder der Länge $r$ Anschließen der Massen anstelle eines anderen Drahtes mit fester Länge.
Es gibt eine zusätzliche potenzielle Energie $\frac{1}{2}kr^2$ wegen dem Frühling.

Meine Frage ist:

Ist $r$ wirklich eine verallgemeinerte Koordinate oder kann sie nur durch die Winkel ausgedrückt werden, und wenn ja, wie?

Antworten (1)

Lagrangedichte eines 2D-Doppelpendelsystems mit Feder

Gonenc · Answer 1

Gonenc

Ich habe die Berechnung nicht selbst durchgeführt, aber soweit ich das beurteilen kann, haben Sie vergessen, die Ableitung von zu nehmen $r$ als du geschrieben hast $\dot x_2^2$ seit $r$ eine Variable ist (sie zieht sich zusammen und dehnt sich aus), müssen Sie so etwas haben wie:

{\dot{X}}_{2} = \dot{R} Sünde ϕ + \dots

$\dot x_2= \dot r \sin \phi + \cdots$

Ich weiß nicht, ob sich diese Begriffe aufheben, aber meine Intuition ist, dass sie es nicht sollten.

Denk darüber so. Wenn ich dir die gebe $\phi,\theta$ als anfangsbedingungen kannst du mir was sagen $r$ sollte sein? Sie können das offensichtlich nicht, weil Sie nicht wissen, wie sehr ich die Feder gedehnt habe, und da dies der Ausgangszustand ist, kann ich tun, was ich will. So müssen Sie haben $r$ als verallgemeinerte Koordinate.

phyundergrad

Das macht sehr viel Sinn, ich wusste, dass etwas fehlte, aber ich konnte nicht wirklich sagen, was. Es ist also fair zu sagen

r = r (t)

$r=r(t)$ ? Meine Intuition sagt

r

$r$ sollte so etwas sein

r (t) = \dot{ϕ} t + l_{0}

$r(t) = \dot{\phi} t + l_0$

Gonenc

naja das kann doch nicht sein oder? da dafür die Länge der Feder als unendlich geht

t \to \infty

$t\to \infty$ aber abgesehen davon, z

t = 0

$t=0$ Sie sagten, dass die Länge der Feder sein sollte

l_{0}

$l_0$ . Warum mag ich vielleicht gedehnte Federn oder vielleicht magst du (zunächst) zusammengezogene Federn?

phyundergrad

Ich habe den Kommentar vorzeitig gepostet, wie ich sagte, glaube ich

r

$r$ würde von den Winkeln abhängen, da sich die Feder beim Schwingen des Pendels zusammenziehen / ausdehnen würde

r

$r$ würde auch davon abhängen

t

$t$ wie Sie sagten, aber ich nehme an, um direkt zu behaupten, es würde davon abhängen

\dot{ϕ}

$\dot{\phi}$ allein, wie ich zuvor kommentiert habe, wäre nicht ganz richtig.

Gonenc

Normalerweise zähle ich gerne die Freiheitsgrade von Anfangsbedingungen. Denn wenn es so wäre

r = f (θ, ϕ, \dots)

$r = f(\theta, \phi, \dots)$ dann sollte dies auch für die Anfangsbedingungen gelten. Nämlich für

t = 0

$t=0$ aber gegeben

θ

$\theta$ Und

ϕ

$\phi$ Ich kann mir beliebige aussuchen

r

$r$ Ich will. Sie können sich also nicht ausdrücken

r

$r$ bezüglich

θ, ϕ, \dots

$\theta,\phi, \dots$

Gonenc

Beachten Sie, dass Sie auch angeben können

\dot{θ}

$\dot \theta$ usw. für Anfangsbedingungen.

phyundergrad

Ich habe den Lagrangian umgeschrieben, indem ich darüber nachgedacht habe

\dot{r}

$\dot r$ und ich habe einen sehr komplexen Lagrange

L = \frac{1}{2} l^{2} {\dot{θ}}^{2} (M_{1} + M_{2}) + {\dot{R}}^{2} + R^{2} {\dot{ϕ}}^{2} + 2 l \dot{R} \dot{ϕ} Sünde (θ - ϕ) + 2 l R \dot{θ} \dot{ϕ} \cos (θ - ϕ) + G l \cos θ (M_{1} + M_{2}) + M_{2} G R \cos ϕ - \frac{1}{2} k R^{2}

$L = \frac{1}{2}l^2 \dot \theta^2 \left(m_1 + m_2 \right) + \dot r^2 + r^2 \dot \phi^2 + 2l \dot r \dot \phi \sin \left(\theta-\phi \right)\\ + 2lr \dot \theta \dot \phi \cos \left(\theta - \phi \right) + gl \cos \theta \left( m_1 + m_2 \right) + m_2 gr \cos \phi - \frac{1}{2} kr^2$

Gonenc

@phyundergrad warum würdest du erwarten, dass es einfach ist? Ich meine, das System, das Sie in Betracht ziehen, ist sehr kompliziert. Verdammt, sogar das Doppelpendel ist an sich schon kompliziert genug.

phyundergrad

Ich schätze, man könnte sagen, dass ich von diesen einfacheren Systemen, denen man normalerweise in der Newtonschen Mechanik begegnet, verwöhnt wurde, also dachte ich, als ich sah, wie absurd lang die Bewegungsgleichungen (unter Verwendung von Euler-Lagrange) für dieses System waren etwas falsch verstanden. Aber Sie haben Recht, selbst für das generische Doppelpendel sind die Lagrangian und die Bewegungsgleichungen kompliziert, also nehme ich an, dass das Hinzufügen einer Feder das Ganze nicht einfacher machen würde. Übrigens möchte ich Ihnen für Ihren Beitrag danken, er war sehr nützlich.

Gonenc

@phyundergrad Wenn es geholfen hat, können Sie es als Ihre Antwort akzeptieren. Hier finden Sie weitere Informationen darüber, wie das funktioniert. (Sie müssen grundsätzlich auf das Häkchen (✓) neben der Stimmenzählung klicken :)

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