Krummlinige Koordinaten und Basisvektoren

Betrachten Sie ein System aus$N$Punkte der Materie, mit Positionen$\vec{r}_i$,$i=1,\ldots,N$auf den Ruheraum eines Bezugssystems bezogen$\cal I$. In Ermangelung weiterer Einschränkungen wird das System in beschrieben$\mathbb R^{3N+1}$, Wo$\mathbb R^{3N}$bezieht sich auf die räumlichen kartesischen Koordinaten der Punkte in$\cal I$, während die letzte$\mathbb R$gibt die Zeitachse an$t$.

Nehmen wir als nächstes an, dass angenommen wird, dass die Punkte einige Einschränkungen erfüllen, die durch beschrieben werden$c < 3N$Bedingungen,

$$f_j(t,\vec{r}_1,\ldots, \vec{r}_N) =0\quad j=1,\ldots, c\:.\tag{1}$$ Zum Beispiel können die obigen Bedingungen besagen, dass einige Abstände zwischen $\vec{r}_i$Und $\vec{r}_j$eine gegebene Funktion der Zeit ist, oder dass einige der Punkte zu Linien oder Flächen gehören, die darin fixiert sind $\cal I$, oder sich zeitlich nach einem gegebenen Gesetz verformen (ein Umfang mit Radius $R(t)$je nach Zeit) und so weiter. Angenommen, die Funktionen $f_j$sind glatt ( $C^2$würde ausreichen) und konzentrieren Sie sich auf die Jacobi-Matrix der Elemente $$\frac{\partial f_j}{\partial x_{ik}}$$ Wo $\vec{r}_i = x_{i1}\vec{e}_1+ x_{i2}\vec{e}_2+ x_{i3}\vec{e}_3$. Wenn diese Matrix hat $c$linear unabhängige Zeile (oder Spalte) auf der Menge $S \subset \mathbb R^{3N+1}$definiert durch (1), sind die Beschränkungen holonom .

In diesem Fall ist es als direkte Folgerung aus dem sogenannten Satz der regulären Werte möglich, dies zu beweisen, jeder$a\in S$gibt eine Nachbarschaft zu$U_a$, so dass$S \cap U_a$wird durch lokale Koordinaten zweideutig und glatt beschrieben$t, q_1,\ldots, q_n$mit$n= 3N-c$und wo$t$ist die anfänglich verwendete Zeitkoordinate.

Mit anderen, eher mathematischen Worten$S$ist eine eingebettete Untermannigfaltigkeit von$\mathbb R^{3N+1}$Und$t, q_1,\ldots, q_n$sind ein lokales Koordinatensystem.

Für jeden fest$t_0$, die Elemente$a$von$S$mit$t(a)=t_0$Definieren Sie den Konfigurationsraum des Systems unter$t=t_0$. Das ist eine eingebettete Untermannigfaltigkeit von$S$(und damit von$\mathbb R^{3N+1}$) mit Dimension$n$.

BEMERKUNG . Es ist möglich (unter erneuter Verwendung des erwähnten Satzes) zu beweisen, dass die$n$Koordinaten$q_k$kann immer passend gewählt werden$n$der Komponenten$x_{ij}$. Die restlichen Koordinaten sind Funktionen von$t$und das$q_k$durch Funktionen gleicher Regularität ($C^2$in unserem Fall) als die der Funktionen$f_j$.

Seit$t,q_1,\ldots, q_n$sind freie Koordinaten zur Beschreibung des Systems, die wir aufschreiben können$N$Vektor geschätzt$C^2$Funktionen:

$${\vec r}_i= {\vec r}_i(t,q_1,\ldots,q_n)\quad i=1,\ldots, N \tag{2}$$ Es ist nicht so schwierig zu beweisen, dass angesichts der obigen Bemerkung die Vektoren $$\frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k}$$ muss linear unabhängig sein. Sie bilden eine Basis des Tangentialraums an jedem Punkt der Untermannigfaltigkeit $S_t$.

Die Koordinaten$q_1,\ldots, q_n$sind diejenigen, die verwendet werden, um die Bewegung des Systems zu beschreiben. Jede Bewegung wird durch eine Kurve definiert$\mathbb R \ni t \mapsto (q_1(t),\ldots, q_n(t))$. Bewegung im physikalischen Raum wird dann einfach durch Ausnutzen von (2) erhalten,

$$\mathbb R \ni t \mapsto \vec{r}_i(t, q_1(t),\ldots, q_n(t))\:,\quad i=1, \ldots, N \tag{3}\:.$$ Betrachtet man (3), sollte es offensichtlich sein, dass die Geschwindigkeit des Punktes bestimmt wird durch $\vec{r}_i$gegenüber $\cal I$wird von gegeben $$\vec{v}_i(t) = \frac{d\vec{r}_i}{dt} = \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial t} +\sum_{k=1}^n \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \dot{q}_k\quad\mbox{with}\quad \dot{q}_k := \frac{dq_k}{dt}\:.$$